【2015NOIP模拟】【挑竹签】【魔道研究】【魔法阵】10.27总结

最新推荐文章于 2025-07-02 15:30:22 发布

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本文介绍了一种针对特定图形——魔法阵的计数算法。该算法通过建立数学模型，运用矩阵乘法和组合数学原理，实现了高效计算不同规模魔法阵的同构三角形数量。此外，还详细介绍了算法实现过程中的关键步骤和技术细节。

116 = 100 + 0 + 16
第一题是一眼题，后面的第二三题就没什么想法就只打了暴力0

题目OJ上有。

【挑竹签】

【Solution】

　　拓扑直接上。

【魔道研究】

【Solution】

　　维护T棵线段树记录每个数列的每个数有多少个，再维护一个线段树表示新数列的每个数有多少个，可以用前缀和来判断当前的数是第几大，插入时判断是否有挤出某个数，在新数列的线段树中减去，删除时类似。

【动态开结点】

　　对于这么大的A可以使用动态开结点来减少结点的个数，类似于模拟链表，当遇到某个结点的左或右子结点为空才开。

【魔法阵】

【Solution】

　　设经过旋转，翻转可以相互得到的三角形称为同构三角形。
　　当N=0时
N=0
　　当N=1时

　　通过N来得到N+1的图形，红色表示外加的一层。

　　一级三角形表示只有一个小三角形组成的三角形。
　　二级三角形表示只有两个小三角形组成的三角形。
　　然后我们忽略第N层图形内部的结构，则可将新的图形看做N=1时的图形，然后我们再讨论拓展的三角形的情况。

　　第7种情况有三种方法转换到第1中情况。
　　类似于这张图片，我们将各个情况之间的转移算出来，再进行转移即可。
　　Std:

#include <cstdio>
typedef long long LL;

const int mo = 1e9 + 7;
const int Flag[10][10] = {
    {1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
    {1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
    {1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
    {1, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
    {1, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0},
    {1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0},
    {1, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0},
    {1, 3, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 0, 0},
    {1, 2, 1, 1, 0, 2, 0, 0, 1, 0},
    {1, 4, 0, 4, 2, 0, 0, 4, 0, 1}},
    res1[10] = {12, 9, 6, 6, 6, 3, 0, 3, 0, 0},
    res2[10] = {4, 2, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0};

int n, m;
LL f[210][210][10], C[13][13];

void CalcC(){
    C[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 12; i ++){
        C[i][0] = 1;
        for(int j = 1; j <= i; j ++) C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % mo;
    }
}

void Dp(){
    f[0][0][0] = 1;
    f[0][1][1] = 4; f[0][1][2] = 4;
    f[0][2][3] = 4; f[0][2][4] = 2; f[0][2][5] = 8; f[0][2][6] = 2;
    f[0][3][7] = 4; f[0][3][8] = 4;
    f[0][4][9] = 1;
    for(int i = 0; i <= n; i ++)
        for(int j = 0; j <= m; j ++)
            for(int now = 0; now < 10; now ++) if(f[i][j][now])
            for(int then = 0; then < 10; then ++) if(Flag[now][then])
                for(int k = 0; j + k <= m && k <= res2[then]; k ++)
                for(int l = 0; l + k + j <= m && l <= res1[then] - 2 * k; l ++)
                    (f[i + 1][j + k + l][then] += f[i][j][now] * Flag[now][then] % mo * C[res2[then]][k] % mo * C[res1[then] - 2 * k][l]) %= mo;
    LL ans = 0;
    for(int i = 0; i < 10; i ++) (ans += f[n][m][i]) %= mo;
    for(int i = 2; i <= m; i ++) (ans *= i) %= mo;
    printf("%d", ans);
}

void Work(){
    scanf("%d %d", &n, &m);
    CalcC();
    Dp();
}

int main(){
    freopen("magic.in", "r", stdin), freopen("magic.out", "w", stdout);

    Work();

    return 0;
}