『莫比乌斯反演』「HAOI2011」Problem B

最新推荐文章于 2023-01-10 19:36:46 发布

pigzhouyb

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分类专栏：数学·数学推导

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博客介绍了如何使用莫比乌斯反演解决一个数学计数问题，即求解在给定范围内满足最大公约数为k的数对数量。通过解析题目描述，提出解题思路，并详细解释了如何应用莫比乌斯反演公式以及除法分块技术进行求解。最后，展示了如何结合容斥原理简化代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

对于给出的 $n$ 个询问，每次求有多少个数对 $(x, y)$ ，满足 $a \leq x \leq b$ ， $c \leq y \leq d$ ，且 $g c d (x, y) = k$ ， $g c d (x, y)$ 函数为 $x$ 和 $y$ 的最大公约数。

题解

先求 $1 - x$ ， $1 - y$ 的满足 $kgcd(x,y)\ =\ k$ 的数对：我们设 $f (i)$ 表示 $k ∣ g c d (x, y)$ 的方案书， $g (i)$ 表示 $g c d (x, y) = k$ 的方案数。

根据莫比乌斯反演公式，则一定有:

$∑d=1⌊ni⌋μ(d)∗f(i∗d)f(i)\ =\ \sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor}\ g(i*d)\iff g(i)\ =\ \sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor}μ(d)*f(i*d)$

因此对于前者μ(d)，我们可以使用前缀和来进行求解。对于后者，我们考虑除法分块来实现。

根据f数组的定义，我们可以知道 $=⌊ni∗d⌋⌊mi∗d⌋f(i*d)\ =\lfloor \frac{n}{i*d}\rfloor \lfloor \frac{m}{i*d}\rfloor$ .

因此我们需要利用除法分块来求解 $f (i * d)$ .显然对于 $⌊ni∗d⌋\lfloor \frac{n}{i*d}\rfloor$ 和对于 $⌊mi∗d⌋\lfloor \frac{m}{i*d}\rfloor$ 会形成不同的序列，每次对于i求解两个右端点中较小点 $= j$ 即可。

设 $a n s (x, y)$ 表示 $1 - x, 1 - y$ 的答案。

现在考虑原题，由于有范围限制，根据容斥原理就很容易就想到：
$ans(b,d)−ans(a−1,d)−ans(b,c−1)+ans(a−1,c−1)ans\ =\ ans(b,d)-ans(a-1,d)-ans(b,c-1)+ans(a-1,c-1)$

然后代码就很好实现了：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 100000;
int Miu[N+10];
int vis[N+10];
int sum[N+10];
int prime[N+10];

void Find_Miu(void)
{
    int m = 0;
    Miu[1] = 1;
    for (int i=2;i<=N;++i)
    {
        if (vis[i] == 0) prime[++m] = i, Miu[i] = -1;
        for (int j=1;j<=m && i*prime[j]<=N;++j)
        {
            vis[i*prime[j]] = 1;
            if (i%prime[j] == 0)
            {
                Miu[i*prime[j]] = 0;
                break;
            }
            Miu[i*prime[j]] = -Miu[i]; 
        }
    }
    return; 
}

void Get_sum(void)
{
    for (int i=1;i<=N;++i)
        sum[i] = sum[i-1]+Miu[i];
    return;
}

long long get(int a,int b,int d)
{
    int j,n,m;
    n = a/d;
    m = b/d;
    long long ans = 0;
    for (int i=1;i<=min(n,m);i=j+1)//不要写成i++ 
    {
        j = min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans += (long long)(sum[j]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    return ans;
}

void work(void)
{
    int a,b,c,d,k;
    scanf("%d %d %d %d %d",&a,&b,&c,&d,&k);
    printf("%lld\n",get(b,d,k)-get(a-1,d,k)-get(b,c-1,k)+get(a-1,c-1,k));
    return;
}

int main(void)
{
    int n;
    Find_Miu();
    Get_sum();
    scanf("%d",&n);
    while (n -- ) work();
    return 0;
}