最长上升子序列(LIS)模板

本文介绍了一种O(n*logn)复杂度的二分优化算法,通过使用最长非递增子序列和最长严格递增子序列的计算,展示了如何在数组中寻找特定元素的高效方法。算法首先初始化dp数组,然后遍历输入数组,利用upper_bound和lower_bound函数进行查找和更新,最终输出最长子序列的长度。

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O(n*logn)二分优化

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f

int num[100005];
int dp[100005];

bool cmp(int a,int b){
	if(a>b)return true;
	return false;
}

int main(){
	int n;
	while(cin>>n){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&num[i]);
		}
		
		dp[0]=inf;
		int cnt=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(dp[cnt]>=num[i]){
				cnt++;
				dp[cnt]=num[i];
			}
			else {
				int t=upper_bound(dp+1,dp+cnt+1,num[i],cmp)-dp;//最长非递增子序列 (可重复) 
				dp[t]=num[i];
			}
		}
		cout<<cnt<<endl;
		
		dp[0]=0;
		cnt=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(dp[cnt]<num[i]){
				cnt++;
				dp[cnt]=num[i];
			}
			else {
				int t=lower_bound(dp+1,dp+cnt+1,num[i])-dp;//最长严格递增子序列 
				dp[t]=num[i];
			}
		}
		cout<<cnt<<endl;
	}
		
	return 0;
}

 

### 动态规划解决最长上升子序列问题 对于最长上升子序列(Longest Increasing Subsequence, LIS),可以采用动态规划的方法来解决问题。以下是基于动态规划的核心思想以及其实现方式。 #### 方法一:O() 时间复杂度的动态规划算法 通过定义 `d[i]` 表示以第 `i` 个元素结尾的最长上升子序列长度,我们可以构建如下状态转移方程: 如果存在某个位置 `j` (其中 `j < i` 并且 `a[j] < a[i]`),则有: \[ d[i] = \max(d[i], d[j] + 1) \] 初始状态下,每个位置的最长上升子序列为 1,即 \( d[i] = 1 \),因为单个元素本身就是一个合法的上升子序列[^1]。 下面是该方法的具体实现代码: ```python def lis_dp_n2(arr): n = len(arr) if n == 0: return 0 d = [1] * n # 初始化为1 for i in range(1, n): for j in range(i): if arr[j] < arr[i]: d[i] = max(d[i], d[j] + 1) # 更新最大值 return max(d) # 测试用例 arr = [2, 7, 1, 5, 6, 4, 3, 8, 9] print(lis_dp_n2(arr)) # 输出应为5 ``` 此方法的时间复杂度为 O()。 --- #### 方法二:优化至 O(n log n) 的解决方案 为了进一步降低时间复杂度到 O(n log n),可以引入辅助数组 `g[]` 来记录当前已知的不同长度的上升子序列对应的最小末尾数值。具体来说,每次遇到一个新的数时,将其插入到合适的位置替换掉原有的较大值或者扩展新的长度[^4]。 下面是一个具体的 Python 实现版本: ```python import bisect def lis_optimized(arr): g = [] # 辅助数组用于保存不同长度下的最小可能结束值 for num in arr: pos = bisect.bisect_left(g, num) # 找到num应该放置的位置 if pos >= len(g): # 如果pos超出范围,则说明找到了更长的子序列 g.append(num) else: # 否则更新对应位置上的值 g[pos] = num return len(g) # 测试用例 arr = [2, 7, 1, 5, 6, 4, 3, 8, 9] print(lis_optimized(arr)) # 输出应为5 ``` 这种方法利用了二分查找技术,在保持最优解的同时显著减少了计算量。 --- ### 总结 上述两种方法分别展示了如何使用不同的策略去求解最长上升子序列问题。第一种方法简单易懂但效率较低;而第二种方法虽然逻辑稍显复杂,却极大地提高了运行速度。
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