POJ 1191 棋盘分割

Description

将一个８*８的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了(n-1)次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行)

原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。
均方差，其中平均值，xi为第i块矩形棋盘的总分。
请编程对给出的棋盘及n，求出O’的最小值。

Input

第1行为一个整数n(1 < n < 15)。
第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。

Output

仅一个数，为O’（四舍五入精确到小数点后三位）。

Sample Input
3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3

Sample Output
1.633

---

均方差公式比较复杂，先将其变形

S^2 = 1/n∑(Xi - X)^2

= 1/n(n*X^2 + ∑Xi^2 - 2*X∑Xi)

= 1/n∑Xi^2 - X^2;

X表示均值

由于均值是一定的（它等于方格里的数和除以n），所以只需要让每个矩形的总分的平方和尽量小

对于左上角(x1,y1)，右下角(x2,y2)的正方形，设它的总和为S[x1,y1,x2,y2]

切割K次后得到的K+1块矩形的总分平方和最小值为f[k,x1,y1,x2,y2]

则它可以横着切，也可以竖着切，然后选一块切（这里用到了递归！）
如（横着切）

f[k][x1][y1][x2][y2]=min(f[k][x1][y1][x2][y2],min(dp(1,x1,y1,i,y2)+dp(k-1,i+1,y1,x2,y2),dp(k-1,x1,y1,i,y2)+dp(1,i+1,y1,x2,y2)));

本题要用到记忆化搜索，可以先全部赋值为-1

---

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,s[9][9],f[16][9][9][9][9];
int count(int x1,int y1,int x2,int y2)//求区域平方和 
{
    int tmp=s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1];
    return tmp*tmp;
}
int dp(int k,int x1,int y1,int x2,int y2)//需要形成k个矩形 
{
    if(f[k][x1][y1][x2][y2]>=0)
        return f[k][x1][y1][x2][y2];
    if(k==1)
        return f[k][x1][y1][x2][y2]=count(x1,y1,x2,y2);
    f[k][x1][y1][x2][y2]=1e9;
    for(int i=x1;i<=x2-1;i++)//横着切 
        f[k][x1][y1][x2][y2]=min(f[k][x1][y1][x2][y2],min(dp(1,x1,y1,i,y2)+dp(k-1,i+1,y1,x2,y2),dp(k-1,x1,y1,i,y2)+dp(1,i+1,y1,x2,y2)));
    for(int i=y1;i<=y2-1;i++)
        f[k][x1][y1][x2][y2]=min(f[k][x1][y1][x2][y2],min(dp(1,x1,y1,x2,i)+dp(k-1,x1,i+1,x2,y2),dp(k-1,x1,y1,x2,i)+dp(1,x1,i+1,x2,y2)));
    return f[k][x1][y1][x2][y2];
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=8;i++)
        for(int j=1;j<=8;j++)
        {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+x;
        }
    memset(f,-1,sizeof(f));
    printf("%.3f\n",sqrt((double)dp(n,1,1,8,8)/n-(double)s[8][8]*s[8][8]/(n*n)));
    return 0;
}