Vijos P1889 天真的因数分解

最新推荐文章于 2019-02-15 22:55:30 发布

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分类专栏：数学

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本文介绍了一种使用莫比乌斯反演解决特定数学问题的方法：找到第k个无法被正确分解为唯一素数因子的数字。通过实现高效的算法，包括预处理Mu函数值和运用二分查找技术，文章详细解释了如何计算这一问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

描述

小岛: 什么叫做因数分解呢?
doc : 就是将给定的正整数n, 分解为若干个素数连乘的形式.
小岛: 那比如说 n=12 呢?
doc : 那么就是 12 = 2 X 2 X 3 呀.
小岛: 呜呜, 好难, 居然素数会重复出现, 如果分解后每一个素数都只出现一次, 我就会.

wish: 这样来说, 小岛可以正确分解的数字不多呀.
doc : 是呀是呀.
wish: 现在问题来了, 对于给定的k, 第 k 个小岛无法正确分解的数字是多少?

格式

输入格式

输入只有一行, 只有一个整数 k.

输出格式

输出只有一行, 只有一个整数, 表示小岛无法正确分解出来的第k个数字.

样例1

样例输入1[复制]

样例输出1[复制]

限制

对于30%的数据, k <= 2,000,000
对于100%的数据, 1 <= k <= 10,000,000,000

莫比乌斯反演。。。

二分+判定

小于x的可以正确分解的数字个数是 Σmu[i]*(x/i^2)

然后可以稍微把mu函数改改即可。。。

二分的上界可以测一下。。。

#include<iostream>
#include<climits>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
long long ans,k,T,n=160000;
int tot,mu[200005],p[200005],ma[200005];
inline void getmu()
{
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(!ma[i])
            p[++tot]=i,mu[i]=1;
        for(int j=1;j<=tot&&p[j]*i<=n;++j)
        {
            ma[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0)
            {
                mu[i*p[j]]=0;
                break;
            }
            else mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
long long te(long long x)
{
    long long sum=0,t=sqrt(x);
    for(long long i=1;i<=t;++i)
        sum+=x/(i*i)*mu[i];
    return sum;
}
int main()
{
    getmu();
    scanf("%lld",&k);
    long long l=k,r=25505460948LL;
    while(l<=r)
    {
        long long mid=l+r>>1;
        if(te(mid)>=k)
            ans=mid,r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}