本文介绍了Elementary shortest path problem with resource constraints（ESPPRC），即资源约束下的最短路径问题，常用于解决如车辆路径问题的子问题。ESPPRC与SPPRC的区别在于不允许节点被重复访问。文章讨论了ESPPRC在column generation框架中的应用，解释了如何根据Master Problem的对偶变量更新边的成本以求解reduced cost最小的路径，并概述了动态规划、拉格朗日松弛、约束编程和启发式算法等常见求解方法。此外，文章重点介绍了Pulse算法，这是一种精确的ESPPRC算法，结合了bound算法和脉冲搜索过程来寻找满足资源约束的最短路径。
00 前言
各位小伙伴大家好，相信大家已经看过前面column generation求解vehicle routing problems的过程详解。该问题中，子问题主要是找到一条reduced cost最小的合法路径，然后加入到Master Problem中。其实，子问题也是一个著名的NP-Hard问题，今天我们就来介绍一下。
01 ESPPRC
考虑图1.1中描述的网络。 除了每条边的成本c_ij之外，还存在经过边（i，j）的所消耗的资源t_ij，比如时间。 我们的目标是找到从开始节点到结束节点的最短路径，每个节点只能访问一次，同时使得资源消耗满足可用的资源约束，比如全程不能超过多少时间。[1]
当然上面描述问题只是ESPPRC中的一个例子，实际的资源约束可能有很多种，比如在VRPTW的子问题中：[2]
起始节点和结束节点一样，每个节点有固定的时间窗和固定的需求。车辆不能超过容量约束的要求等等。
ESPPRC vs SPPRC
SPPRC和ESPPRC一样，只不过SPPRC去掉了elementary的约束，允许最短路中一个节点被访问多次。
02 应用
我们知道，ESPPRC是可以应用在colu
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