【常用算法：排序篇】3.二叉堆全解析：高效维护集合最值的终极武器

二叉堆（Binary Heap）是一种基于完全二叉树实现的数据结构，能够高效维护集合中的最大值或最小值。其核心特性是插入、删除最值的操作时间复杂度均为 O(log n)，而获取最值仅需 O(1)，是优先队列、堆排序等算法的基石。

1、二叉堆的核心特性

1. 结构性质

• 完全二叉树：所有层除最后一层外均填满，最后一层从左到右填充。
• 数组表示：无需指针，通过索引计算父子节点：
  • 父节点索引：parent(i) = (i-1) // 2
  • 左子节点索引：left_child(i) = 2i + 1
  • 右子节点索引：right_child(i) = 2i + 2

2. 堆序性质

• 最大堆：父节点值 ≥ 子节点值（维护最大值）。
• 最小堆：父节点值 ≤ 子节点值（维护最小值）。

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2、完全二叉树与二叉堆的关系

1.完全二叉树

• 节点从上到下、从左到右连续填充，可用数组存储。
• 父节点索引 i，左子节点索引 2i，右子节点索引 2i+1。
  

2.二叉堆

• 基于完全二叉树，分为大顶堆（父节点值 ≥ 子节点）和小顶堆（父节点值 ≤ 子节点）。
• 核心作用：动态维护集合中的最大值或最小值，时间复杂度为 O(log n)。
  

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3、堆的四种核心操作

1. 插入元素（Insert）

• 步骤：
  • 将新元素插入数组末尾。
  • 上浮（Sift Up）：若新元素破坏堆序，则与其父节点交换，递归上浮至根。
• 时间复杂度：O(log n)。
• 代码示例（最大堆）：

  • def insert(heap, value):
        heap.append(value)
        current = len(heap) - 1
        while current > 0:
            parent = (current - 1) // 2
            if heap[current] <= heap[parent]:
                break
            heap[current], heap[parent] = heap[parent], heap[current]
            current = parent
    

2. 删除最值（Extract）

• 步骤：
  • 将堆顶元素（最值）与末尾元素交换并移除。
  • 下沉（Sift Down）：新堆顶与其较大子节点交换，递归下沉至叶子。
• 时间复杂度：O(log n)。
• 代码示例（最大堆）：

  • def extract_max(heap):
        if not heap:
            re