0-1背包以及完全背包（如何输出包里的物件）

最新推荐文章于 2025-07-05 20:15:34 发布

Fhang1996

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分类专栏：算法文章标签：算法背包问题动态规划

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Return_True_hang/article/details/68952386

本文介绍了0-1背包和完全背包问题，这两种经典的动态规划问题。通过实例展示了如何使用动态规划求解背包问题以达到背包能携带的最大价值，并探讨了如何改进算法以获取最优解的物品组合。最后，提供了C++代码以帮助理解整个动态规划过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

0-1 背包问题

问题：有Num个物品，每个物品的重量为weight[i]，每个物品的价值为value[i]。现在有一个背包，它所能容纳的重量为 M ，问：当你面对这么多有价值的物品时，你的背包所能带走的最大价值是多少？

解决方法：采用动态规划的方法解决。
01背包的状态转换方程
f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Weight[i]]+Value[i] ( j >= Wi ), f[i-1,j] }

看不懂这个公式很正常，待会看了做法就知道了。

给一个具体的题目：
有a,b,c,d,e 5个物品。他们的重量和价值是(4, 6) (5,4) (6,5) (2,3) (2,6) ，
然后用一个大小为10的背包装他们，要求价值最大化。

这个时候我们借助一张表来解题

what can in bug	weight	value
a	4	6
a,b	5	4
a,b,c	6	5
a,b,c,d	2	3
a,b,c,d,e	2	6

what can in bug意思就是说这一行代表什么能在包里，当我们填第一行的时候，只能是a在包，我们不考虑其他的b,c,d,e，就这样一行加一个物品考虑，一直往下。
按照这个思路：
第一行，0，1，2，3 因为都不满足物品重量为 4的要求，所以填0，而4 - 10 填物品a的value 6。
第二行，0，1，2，3不满足物品a ，b重量的需求，同样为0，但4，5上一行已经能满足的，这一行当然能满足，所以照抄下来。到了6 就有两种选择了，一种是采用上一行的结果，另一种是放这次加入物品b，两种取价值最大。
以此类推。

为了便于理解，我打印了过程给大家看：

这里写图片描述

以下是C++代码，打印过程被我注释，可以打开去看下整个dp的过程。

#include <iostream>
#define max(x,y) (x)>(y) ? (x) : (y)
using namespace std;

int main(int argc, const char * argv[])
{
    //数据定义部分
    int Num; //物品数量
    int M;   //背包容量
    cin >> Num;
    cin >> M;
    int weight[Num],f[Num][M+1],value[Num];
    for (int i=0;i<Num; i++) {
        cin >> weight[i] >> value[i];
    }

    //    //赋初值0，便于打印过程