leetcode算法每天一题004: 寻找两个正序数组的中位数

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原创 2022-10-28 18:25:11 193 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

4.寻找两个正序数组的中位数 python 要找到两个正序数组的中位数，并且要求时间复杂度为 (O(\log(m+n)))，可以使用二分查找的方法。通过这种方法，我们可以在 (O(\log(m+n))) 的时间复杂度内找到两个正序数组的中位数。解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5。输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n))。解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2。阅读详情

题目描述

寻找两个正序数组的中位数
时间复杂度应该为 O(log (m+n))
要求复杂度为log(m+n),常见的一维问题 logn复杂度的算法多为二分查找的变形

输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

暴力解法(不可行)

通常的想法是可以将两个数组通过两个循环合并起来，然后找到其k/2位置的值即可。但这样的作法会使时间复杂度变为O(m+n)。
目标是寻找k/2位置的数值，可以考虑将二分法(二分，每次选择一半的方法)的变形用上

在这里插入图片描述

非暴力解法

C++

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int n = nums1.size() + nums2.size();
        if(n%2==0){
            int left = find(nums1,0,nums2,0,n/2);
            int right = find(nums1,0,nums2,0,n/2 +1 );
            return (left+right)/2.0;
        }else{// 奇数个数值的情况
            return find(nums1,0,nums2,0,n/2 +1 );//返回一半的右侧值
        }
    }
    // i , j为开始查找位置的索引  k为从索引开始向下查找几个数值
    int find(vector<int>& nums1 , int i , vector<int>& nums2 ,int j ,int k){
        // 在查找之前先进行判断,  ！！！ 保持nums2数组的长于nums1 ！！！
        if(nums1.size() -i > nums2.size() -j){
            return find(nums2 , j, nums1,i,k);
        }

        if(nums1.size() == i) return nums2[j+k-1];//特殊情况

        if(k == 1) return min(nums1[i],nums2[j]);//终止条件

        // 向前移动K/2
        int idx1 = min(i + k/2,(int)nums1.size());//加上min防止overflow
        int idx2 = j + k - k/2;// ind2查找的长度可能多一个

        //二分法，选择在那个数组的基础上 移动这k/2的距离
        if(nums1[idx1 -1]< nums2[idx2 -1]){// 因为k代表的是第几个所以需要减1
            return find(nums1,idx1,nums2,j, k-(idx1 -i));
        }else{
            return find(nums1,i,nums2,idx2, k-(idx2 -j));
        }



    }
};

从提示代码中发现使用了c++中的引用类型。

JAVA

PYTHON

这道题让我们求两个有序数组的中位数，而且限制了时间复杂度为O(log (m+n))，看到这个时间复杂度，自然而然的想到了应该使用二分查找法来求解。那么回顾一下中位数的定义，如果某个有序数组长度是奇数，那么其中位数就是最中间那个，如果是偶数，那么就是最中间两个数字的平均值。这里对于两个有序数组也是一样的，假设两个有序数组的长度分别为m和n，由于两个数组长度之和 m+n 的奇偶不确定，因此需要分情况来讨论，对于奇数的情况，直接找到最中间的数即可，偶数的话需要求最中间两个数的平均值。为了简化代码，不分情况讨论，我们使用一个小trick，我们分别找第 (m+n+1) / 2 个，和 (m+n+2) / 2 个，然后求其平均值即可，这对奇偶数均适用。加入 m+n 为奇数的话，那么其实 (m+n+1) / 2 和 (m+n+2) / 2 的值相等，相当于两个相同的数字相加再除以2，还是其本身。

这里我们需要定义一个函数来在两个有序数组中找到第K个元素，下面重点来看如何实现找到第K个元素。首先，为了避免产生新的数组从而增加时间复杂度，我们使用两个变量i和j分别来标记数组nums1和nums2的起始位置。然后来处理一些边界问题，比如当某一个数组的起始位置大于等于其数组长度时，说明其所有数字均已经被淘汰了，相当于一个空数组了，那么实际上就变成了在另一个数组中找数字，直接就可以找出来了。还有就是如果K=1的话，那么我们只要比较nums1和nums2的起始位置i和j上的数字就可以了。难点就在于一般的情况怎么处理？因为我们需要在两个有序数组中找到第K个元素，为了加快搜索的速度，我们要使用二分法，对K二分，意思是我们需要分别在nums1和nums2中查找第K/2个元素，注意这里由于两个数组的长度不定，所以有可能某个数组没有第K/2个数字，所以我们需要先检查一下，数组中到底存不存在第K/2个数字，如果存在就取出来，否则就赋值上一个整型最大值。如果某个数组没有第K/2个数字，那么我们就淘汰另一个数字的前K/2个数字即可。有没有可能两个数组都不存在第K/2个数字呢，这道题里是不可能的，因为我们的K不是任意给的，而是给的m+n的中间值，所以必定至少会有一个数组是存在第K/2个数字的。最后就是二分法的核心啦，比较这两个数组的第K/2小的数字midVal1和midVal2的大小，如果第一个数组的第K/2个数字小的话，那么说明我们要找的数字肯定不在nums1中的前K/2个数字，所以我们可以将其淘汰，将nums1的起始位置向后移动K/2个，并且此时的K也自减去K/2，调用递归。反之，我们淘汰nums2中的前K/2个数字，并将nums2的起始位置向后移动K/2个，并且此时的K也自减去K/2，调用递归即可。

class Solution {
  public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int m = nums1.length;
        int n = nums2.length;
        int left = (m + n + 1) / 2;
        int right = (m + n + 2) / 2;
        return (findKth(nums1, 0, nums2, 0, left) + findKth(nums1, 0, nums2, 0, right)) / 2.0;
    }
    //i: nums1的起始位置 j: nums2的起始位置
    public int findKth(int[] nums1, int i, int[] nums2, int j, int k){
        if( i >= nums1.length) return nums2[j + k - 1];//nums1为空数组
        if( j >= nums2.length) return nums1[i + k - 1];//nums2为空数组
        if(k == 1){
            return Math.min(nums1[i], nums2[j]);
        }
        int midVal1 = (i + k / 2 - 1 < nums1.length) ? nums1[i + k / 2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;
        int midVal2 = (j + k / 2 - 1 < nums2.length) ? nums2[j + k / 2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;
        if(midVal1 < midVal2){
            return findKth(nums1, i + k / 2, nums2, j , k - k / 2);
        }else{
            return findKth(nums1, i, nums2, j + k / 2 , k - k / 2);
        }        
    }
}