有限布尔代数的表示理论：由集合生成的布尔代数

$$基底$$
$$\begin{gathered} 称(L,\ast ,+,\neg ,0,1)是布尔代数，n维布尔代数中e_1,\dots \dots ,e_n是L得一组基地，若 \\ \forall a\in L,a=k_1{e}_1+k_2{e}_2+\dots \dots +k_n{e}_n(其中k_i为代数系统中得0元或1元) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 例:设S_{30}是30的所有正因数做成的集合。对任意a,b\in S_{30} \\ 规定运算a+b为a、b的最小公倍数a\ast b为a、b的最大公约数。 \\ 则(S_{30},\ast ，+,1,30)是布尔代数，1是其最小元素，30是其最大元素。 \\ 该布尔代数的基底为2,3,5: \\ 1=(1\ast 2)+(1\ast 3)+(1\ast 5)，2=(30\ast 2)+(1\ast 3)+(1\ast 5)，3=(1\ast 2)+(30\ast 3)+(1\ast 5),5=(1\ast 2)+(1\ast 3)+(30\ast 5)，6=(30\ast 2)+(30\ast 3)+(1\ast 5),10=(30\ast 2)+(1\ast 3)+(30\ast 5)15=(1\ast 2)+(30\ast 3)+(30\ast 5)，30=(30\ast 2)+(30\ast 3)+(30\ast 5) \end{gathered}$$

$原子（极小元）：哈斯图中盖住0的所有元素$
$有限布尔代数得基底必是此代数得所有极小元素，反之亦成立$
$$\begin{gathered} 性质1：e_1+e_2+\dots \dots +e_n=1 \\ 性质2：有限布尔代数得基底唯一 \end{gathered}$$

由集合生成得布尔代数

对于一个布尔代数(L,∗,+,¬,0,1),s1,s2,si为L中得元素集合S中得元素为∑x1∗…∗xi，xi或为si或为siˉ∣可证(S,∗,+,¬,0,1)为布尔代数，称为由{s1,s2,…si}生成得布尔代数对于一个布尔代数(L,*,+,\neg,0,1),s_1,s_2,s_i为L中得元素\\ 集合S中得元素为\sum x_{1}*…*x_{i}，x_{i}或为s_i或为\bar {s_i}|\\ 可证(S,*,+,\neg,0,1)为布尔代数，称为由\{s_1,s_2,…s_i\}生成得布尔代数 对于一个布尔代数(L,∗,+,¬,0,1),s1​,s2​,si​为L中得元素集合S中得元素为∑x1​∗…∗xi​，xi​或为si​或为si​ˉ​∣可证(S,∗,+,¬,0,1)为布尔代数，称为由{s1​,s2​,…si​}生成得布尔代数
例:(S30,∗,+,¬,0,1)中由{2,6}生成得布尔代数为(S30,∗,+,¬,0,1)由{1,30}生成得布尔代数为({1,30},∗,+,¬,0,1)由{2}生成得布尔代数为({1,2,15,30},∗,+,¬,0,1)例:(S_{30},*,+,\neg,0,1)中\\ 由\{2,6\}生成得布尔代数为(S_{30},*,+,\neg,0,1)\\ 由\{1,30\}生成得布尔代数为(\{1,30\},*,+,\neg,0,1)\\ 由\{2\}生成得布尔代数为(\{1,2,15,30\},*,+,\neg,0,1)\\ 例:(S30​,∗,+,¬,0,1)中由{2,6}生成得布尔代数为(S30​,∗,+,¬,0,1)由{1,30}生成得布尔代数为({1,30},∗,+,¬,0,1)由{2}生成得布尔代数为({1,2,15,30},∗,+,¬,0,1)

$[Stone定理]:任意有限布尔代数<B,\vee ,\wedge ,->,M是所有原子构成的集合，则<B,\vee ,\wedge ,->与<P(M),\cup ,\cap ,～>同构$