给出限制条件的最短路问题

该程序使用Dijkstra算法求解在一个给定的加权图中,从指定起点到终点的最短路径。程序读取边的权重、节点级别和起点,然后通过动态规划找到最短路径。注意,在更新最短路径时,必须确保节点的合法性。最后,程序输出最短路径的总长度。

 

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;
const int N=200+10;
int g[N][N];
const int fill_val=0x3f;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int dis[N];
int level[N];
bool vis[N];
int m,n;
int res=INF;
bool valid(int val,int l,int r)
{
    return val>=l&&val<=r;
}
int dijksra(int l,int r)
{
    memset(dis,fill_val,sizeof dis);
    memset(vis,0,sizeof vis);
    dis[n+1]=0;
    for(int i=0;i<n+1;i++)
    {
        int t=-1;
        for(int j=1;j<=n+1;j++)
        {
            if(!vis[j]&&(t==-1||dis[j]<dis[t]))
            {
                t=j;
            }
        }
        vis[t]= true;
        for(int j=1;j<=n+1;j++)
        {
            if (valid(level[t],l,r)&&valid(level[j],l,r)&&dis[t]+g[t][j]<dis[j])
            {
                dis[j]=dis[t]+g[t][j];
            }
        }
    }
    return dis[1];
}
int main()
{
    memset(g,fill_val,sizeof g);
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x;
        cin>>g[n+1][i]>>level[i]>>x;
        for(int j=0;j<x;j++)
        {
            int id,price;
            cin>>id>>price;
            g[id][i]=price;
        }
    }
    level[n+1]=level[1];
    for(int i=level[1]-m;i<=level[1];i++)
    {
//        cout<<dijksra(i,i+m)<<endl;
        res=min(res,dijksra(i,i+m));
    }
    cout<<res;


    return 0;
}

本题坑点:

不能在这里进行合法性的判断,因为有可能t==-1,如果要在这里进行合法性的判断,如果最后t==-1就要退出,因为没有合法的了。 

### 单源短路径算法及其变种 对于单源短路问题,经典的 Bellman-Ford 和 Dijkstra 算法是常用的解决方法。然而,在某些情况下,可能需要对这些算法进行修改以满足特定约束条件,比如限制松弛操作的次数。 #### Bellman-Ford 的变种 Bellman-Ford 算法的核心在于通过多 \( V-1 \) 轮迭代来更新节点的距离[^1]。如果希望限制松弛操作的总次数,则可以通过提前终止循环的方式实现这一目标。具体来说: - 如果在某一轮迭代中没有任何距离被进一步优化,则可以立即停止后续计算。 - 这一特性使得 Bellman-Ford 成为一种动态调整松弛次数的有效工具。 当明确限定松弛次数时,可以在外层设置固定轮次的大值 \( k \),即使未达到收敛状态也强制结束运算。此时的结果将是基于有限步数内的优解近似值[^2]。 ```python def limited_bellman_ford(graph, source, max_relaxations): n = len(graph) distances = [float('inf')] * n distances[source] = 0 relax_count = 0 for _ in range(max_relaxations): updated = False for u in range(n): for v, weight in graph[u]: if distances[u] + weight < distances[v]: distances[v] = distances[u] + weight updated = True if not updated or (relax_count >= max_relaxations): break relax_count += 1 return distances ``` #### Dijkstra 的变种 Dijkstra 算法通常用于无负权边的情况,并依赖优先队列加速搜索过程。要引入松弛次数限制的概念较为复杂,因为标准版本并不显式跟踪每条路径上的实际松弛数目。不过有几种策略可考虑: 1. **扩展状态空间**:将当前顶点以及已使用的松弛数量作为联合键存储于优先队列之中。这样每次选取小估计代价结点的同时还能记录剩余可用松弛机会。 2. **启发式剪枝**:利用 A* 类型的思想加入额外评估函数指导探索方向,从而间接减少不必要的边缘检测频率。 这两种方式都会增加内存消耗并可能导致运行效率下降,因此需谨慎选用场景适用性较高的方案[^3]。 ```python import heapq def constrained_dijkstra(graph, start_vertex, limit): queue = [(0,start_vertex,limit)] visited_with_limits = {} while queue: cost_so_far,node,left_quota=heapq.heappop(queue) key=(node,left_quota) if key not in visited_with_limits or \ visited_with_limits[key]>cost_so_far : visited_with_limits[key]=cost_so_far if left_quota>0: for neighbor,dist_to_neighbor in graph[node].items(): new_cost=cost_so_far+dist_to_neighbor heapq.heappush( queue,(new_cost, neighbor, left_quota-(neighbor!=start_vertex))) shortest_paths={k:v for k,v in visited_with_limits.items() if k[1]==limit} return shortest_paths ``` 以上两种改进均提供了针对不同需求下处理带约束SSSP问题的可能性。但需要注意的是它们各自存在局限性和性能折衷之处应视具体情况而定佳实践途径[^4].
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