【BZOJ 1016】 [JSOI2008]最小生成树计数

最新推荐文章于 2021-07-21 10:05:38 发布

Regina8023

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分类专栏： ~Tree Problems~ 文章标签： BZOJ OI 最小生成树

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本文介绍了一道经典算法题目——JSOI2008的最小生成树计数问题，详细解释了如何利用最小生成树的性质进行求解，并附带完整的代码实现。

1016: [JSOI2008]最小生成树计数

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Description

现在给出了一个简单无向加权图。你不满足于求出这个图的最小生成树，而希望知道这个图中有多少个不同的最小生成树。（如果两颗最小生成树中至少有一条边不同，则这两个最小生成树就是不同的）。由于不同的最小生成树可能很多，所以你只需要输出方案数对31011的模就可以了。

Input

第一行包含两个数，n和m，其中1<=n<=100; 1<=m<=1000; 表示该无向图的节点数和边数。每个节点用1~n的整数编号。接下来的m行，每行包含两个整数：a, b, c，表示节点a, b之间的边的权值为c，其中1<=c<=1,000,000,000。数据保证不会出现自回边和重边。注意：具有相同权值的边不会超过10条。

Output

输出不同的最小生成树有多少个。你只需要输出数量对31011的模就可以了。

Sample Input

4 6
1 2 1
1 3 1
1 4 1
2 3 2
2 4 1
3 4 1

Sample Output

最小生成树的性质。

做这道题要明白最小生成树的两个性质：

1.两个不同的最小生成树的边权排序之后得到的序列是完全一样的。

理解：

设最小生成树有n条边，任意两棵最小生成树分别称为A, B, 如果e是一条边，用w(e)表示该边的权值。

A的边按权值递增排序后为a 1 , a 2 , …… a n w(a 1 )≤w(a 2 )≤ …… w(a n )

B的边按权值递增排序后为b 1 , b 2 , …… b n w(b 1 )≤w(b 2 )≤ …… w(b n )

设i是两个边列表中，第一次出现不同边的位置，a i ≠b i

不妨设w(a i )≥w(b i )

情形1 如果树A中包含边b i ，则一定有j>i使得 b i =a j ,事实上,这时有 w(b i )=w(a j )≥w(a i ) ≥w(b i ) 故 w(b i )=w(a j )=w(a i )，在树A的边列表中交换边a i 和 a j 的位置并不会影响树A的边权有序列表，两棵树在第i个位置的边变成同一条边。

情形2 树A中并不包含边b i，则把b i加到树A上，形成一个圈，由于A是最小生成树，这个圈里任意一条边的权值都不大于w(b i ) ，另外，这个圈里存在边a j不在树B中。因此，有w(a j )≤w(b i )，且 j>i (因为a j不在B中)。于是，有w(b i )≤w(a i )≤w(a j )≤w(b i )，因此 w(a i )= w(a j ) = w(b i )。那么在树A中把a j换成b i仍然保持它是一棵最小生成树，并不会影响树A的边权有序列表，并且转换成情形1。

2.相同权值的边算完之后树的连通性是一样的。

若连通性不同，说明还可以往进加当前权值的边啊，那就是没算完。

根据这两个性质，用乘法原理，dfs就可以了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define mod 31011
using namespace std;
int tot=0,cnt=0,n,m,f[105],sum=0,ans=1;
struct edge
{
	int x,y,v;
}e[1005];
struct data
{
	int l,r,v;
}a[1005];
bool cmp(edge a,edge b)
{
	return a.v<b.v;
}
int Getfather(int x)
{
	if (x==f[x]) return x;
	return Getfather(f[x]);
}
void dfs(int x,int now,int k)
{
	if (now==a[x].r+1)
	{
		if (k==a[x].v) sum++;
		return;
	}
	int f1=Getfather(e[now].x),f2=Getfather(e[now].y);
	if (f1!=f2)
	{
		f[f1]=f2;
		dfs(x,now+1,k+1);
		f[f1]=f1;
	}
	dfs(x,now+1,k);
}
int main()
{
        scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].v);
	sort(e+1,e+1+m,cmp);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		f[i]=i;
	tot=0,cnt=0;
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int f1=Getfather(e[i].x),f2=Getfather(e[i].y);
		if (e[i].v!=e[i-1].v)
		{
			a[cnt].r=i-1;
			a[++cnt].l=i;
		}
		if (f1!=f2)
		{
			f[f1]=f2;
			a[cnt].v++;
			tot++;
		}
	}
	a[cnt].r=m;
	if (tot!=n-1)
	{
		cout<<0<<endl;
		return 0;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
		f[i]=i;
	for (int i=1;i<=cnt;i++)
	{
		sum=0;
		dfs(i,a[i].l,0);
		ans=(ans*sum)%mod;
		for (int j=a[i].l;j<=a[i].r;j++)
		{
			int f1=Getfather(e[j].x),f2=Getfather(e[j].y);
			if (f1!=f2)
				f[f1]=f2;
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}