AcWing算法基础(3)

最新推荐文章于 2024-05-31 15:29:13 发布

原创最新推荐文章于 2024-05-31 15:29:13 发布 · 282 阅读

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#算法 #c++ #数据结构

文章介绍了双指针算法的概念和优势，通过三个具体的例子展示了如何利用双指针解决数组问题，包括寻找最长连续不重复子序列、数组元素的目标和以及判断子序列。此外，还提到了位运算和离散化等技术在处理特定问题时的作用，如处理值域大但数值个数少的情况，并介绍了区间合并的概念。

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一、双指针算法

1，算法分析：

所谓双指针算法，也就是用两个指针去扫描数组，有可能是扫描同一个数组，也有可能是两个不同的数组，凡是用到类似方法都可以称为双指针，双指针算法的优点就在于能够把用暴力解决的所需时间复杂度为 $O\left ( N^{2} \right )$ 的方法优化成 $O\left ( N \right )$ ，大大提高了问题的解决效率。其算法模板如下：

for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
{
    while (j < i && check(i, j)) j ++ ;

    // 具体问题的逻辑
}
//常见的问题：
//  (1) 对于一个数组，用两个指针维护一段区间
//  (2) 对于两个数组，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作

2，例题1,799.最长连续不重复子序列

（1）题目描述:

给定一个长度为n的整数序列，请找出最长的不包含重复的数的连续区间，输出它的长度。

（2）数据范围:

所有的整数均小于10e5,n小于10e5。

（3）问题样例

输入：
5
1 2 2 3 5
输出：
3
// 3指的是数组中的“235”

（4）问题分析：

先考虑暴力求解的方法，再思考i和j分别有没有单调关系，再进一步用双指针来优化。

我们用 i 来遍历[i：0→n]数组，用 j 来指向能够在左端且距离当前 i 指向的数字最远的数字，根据分析，我们先说结论：在i往后移的时候，j 绝不可能往前移动，也就是 j 和 i 之间具有单调性。随后再来证明一下这个结论.

我们来思考一下，当固定 i 不动 $i_{0}$ ，我们何时移动 i ，那必然是 j 已经移动到了此时的''最佳''位置 $j_{0}$ ，当 j 再远离 i 的时候已经指向了一个与此时 i 指向的数字相同的数字了 $j_{1}$ ，此时我们才需要移动 i 来找下一个数字 $i_{1}$ 的''最佳长度''，那么这个时候新的 $i_{1}$ 的左端必定包含的有 $i_{0}$ ，如果此时 j 是向后移动，就会使 i，j 之间直接出现重复的数字，故 j 只能向后移动，也就是说 i 往后移动的时候，j 不会往前移动，二者具有单调性。

两个指针的功能定义好了，剩下的就是''check(j,i)''这个判断的问题了，我们要检查的是当前的j和i之间的数字是否有重复，根据问题的数据范围，我们就单开一个数组s[N]记录下每个数字（如果数字很大的话，就可以用C++的哈希表来解决），看代码：

（5）代码

#include<stdio.h>
#define N 100010

int n;
int q[N],s[N];

int max(int x, int y)
{
    return x>y?x:y;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 0 ;i < n ; i ++)
        scanf("%d",q+i);
    int ans = 0;
    int j = 0;
    for(int i = 0;i < n ; i ++)
    {
        s[ q[i] ] ++;
        while(j < i && s[ q[i] ] > 1)
        {
            s[ q[j] ]--;
            j++;
        }   
        //☆while循环是为了在遇到两个相同的数字的时候,更新j,使得j指向该数字第一次出现的下一位
        ans=max( ans, i-j+1 );
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

其中,while循环这一步请多花时间思考,用样例模拟一下。

3，例题2，800. 数组元素的目标和

（1）题目描述:

给定两个有序数组A（数组长度n），B（数组长度m），以及一个目标值x，数组下标从0开始，请求出满足A[i]+B[j]=x，的数对（i，j）题目保证有唯一解。

（2）数据范围:

数组长度n，m不超过10e5，数组元素的值不超过10e9，保证同一个数组无相同元素。

（3）问题样例

输入样例：（第一行分别为n，m，x）
4 5 6
1 2 4 7
3 4 6 8 9
输出样例：
1 1

（4）问题分析：

先从暴力循环开始考虑，无非两层for循环，组合所有的A[i]，B[j]，时间复杂度为O（m*n),因为A,B数组分别是严格单调上升序列，所以我们可以利用这一点来优化算法，使用双指针。

注意：这是一个经典的双序列双指针题，经典的操作。

我们不妨用i指针对A数组从前往后扫，用j指针对B数组从后往前扫，A[i]+B[j]≠x的时候无非就两种情况，A[i]+B[j]>x，或者是A[i]+B[j]<x，由于双指针是对着扫的，A[]从最小值开始，B[]从最大值开始，若A[i]+B[j]>x，那么我们要使A[i]+B[j]整体变小，就只能移动j指针，反之，若A[i]+B[j]<x，只能移动i指针。可以发现利用双指针，我们就可以把O(m*n)的时间复杂度降低成线性的O(m+n)。

（5）代码

#include<stdio.h>

#define N 100010

int a[N], b[N] ;
int n, m, x ;

int main ()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &x);
    for(int i = 0 ; i < n ; i++) scanf("%d",a+i);
    for(int j = 0 ; j < m ; j++) scanf("%d",b+j);
    
    int j= m - 1 ;
    for(int i = 0 ; i < n ;i ++)
    {
        while(a[i]+b[j]>x) j--;
        if(a[i]+b[j]==x) printf("%d %d",i,j);
    }
    return 0;
}

4，例题3，2816. 判断子序列

（1）题目描述:

给定长度分别为n,m的序列,a,b,请你判断 a 序列是否为 b 序列的子序列。子序列指序列的一部分项按原有次序排列而得的序列，如 $\left \{ a_{1},a_{3},a_{5} \right \}$ 是序列 $\left \{ a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5} \right \}$ 的子序列。

（2）数据范围:

序列长度均不大于10e5，序列元素均不大于10e9

（3）问题样例：

输入样例：
3 5
1 3 5
1 2 3 4 5
输出样例：
Yes

（4）问题分析：

这个题一画图就可以找到i和j的单调关系，根据子序列的定义，如果我们找得到所有a序列中的元素，且把这些元素在b数组中下标组成一个新的数组的话，这个新的数组就是一个递增数组，通过进一步的分析，我们知道当指向序列a的指针向后移动的时候，要想满足子序列定义，指向序列b的指针不可能向前移动，只能向后移动，所以i，j之间有着单调性。

我们只需要遍历b数组（遍历a数组理论上是可行，但是我写代码卡住了），当满足条件a[i]==b[j]的时候就让i++，最后只需要判断一下i是否等于n（或者从1开始n+1）即可。

（5）代码

#include<stdio.h>
#define N 100010

int a[N],b[N];
int n,m;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) scanf("%d",a+i);
    for(int j = 1 ; j <= m ; j ++) scanf("%d",b+j);
    int i = 1 ;
    for(int j =1 ; j <= m ; j++)
    {
        if(i<=n && a[i] == b[j]) i++;
    }
    if(i==n+1)puts("Yes");
    else puts("No");
    return 0;
}