蒟蒻学亿棵线段树

一、线段树简介

线段树是一种适用于维护区间信息的数据结构，可以在 O($logN$) 的时间复杂度内实现单点修改、区间修改、区间查询等操作。（利用二叉堆思想）

二、代码实现（以实现区间和为例）

1、建树

递归分割，末端赋值，回溯合并
数组空间 $2^{\lceil lo{g}_2^n\rceil +1}+1$
一般来说数组开4N

// s,t指当前区间 p指当前序号
void build(int s,int t,int p){
	if(s==t){
		d[p]=a[s];
		return;
	}
	else{
		int m=s+((t-s)>>1);
		//与 m=(t+s)>>1 几乎等价，但上式可以防止计算过程中产生溢出
		build(s,m,p*2);
		build(m+1,t,p*2+1);
		d[p]=d[p*2]+d[p*2+1]; //更新
	}
}

2、LAZY TAG 懒标记

Tip: 极大区间实质上是被包含于查询区间 [L,R] 的最简区间 [S,T]，此 [S,T] 区间之上的区间就超出了区间 [L,R] 的范围，其下的小区间又显然没有上面的大区间优。
在更新区间（如区间整体加减）时，我们会找到几个极大区间（区间数在 O($logN$) 以内），因为不想将极大区间麾下的所有小区间全部更新（影响时间复杂度），所以用一种懒标记，这种标记存放于已经修改过值的节点，当有需求向下分割时再进行懒标记的下放（叶节点无需再次下放）

3、区间修改

// l,r指修改区间
void update(int l,int r,int c,int s,int t,int p){
	if(l<=s&&t<=r){
		//极大区间
		d[p]+=(t-s+1)*c;
		b[p]+=c;
		return;
	}
	else{
		int m=s+((t-s)>>1);
		if(b[p]&&s!=t){
			//非叶节点下放懒标记
			d[p*2]+=b[p]*(m-s+1);
			d[p*2+1]+=b[p]*(t-m);
			b[p*2]+=b[p];
			b[p*2+1]+=b[p];
			b[p]=0;
		}
		if(l<=m) update(l,r,c,s,m,p*2);
		if(m+1<=r) update(l,r,c,m+1,t,p*2+1);
		d[p]=d[p*2]+d[p*2+1]; //更新
	}
}

4、区间查询

typedef long long ll;
ll getsum(int l,int r,int s,int t,int p){
	if(l<=s&&t<=r) return d[p];
	int m=s+((t-s)>>1);
	//有需求向下分割，下放懒标记
	if(b[p]){
		d[p*2]+=b[p]*(m-s+1);
		d[p*2+1]+=b[p]*(t-m);
		b[p*2]+=b[p];
		b[p*2+1]+=b[p];		
		b[p]=0;
	}
	ll sum=0;
	if(l<=m) sum+=getsum(l,r,s,m,p*2);
	if(m+1<=r) sum+=getsum(l,r,m+1,t,p*2+1);
	return sum;
}

5、一棵刚出炉的线段树

代码相关题目：P3372 【模板】线段树 1

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=1e5+5;
typedef long long ll;

int n,q;
ll a[N],d[4*N],b[4*N];

void build(int s,int t,int p){
	if(s==t){
		d[p]=a[s];
		return;
	}
	else{
		int m=s+((t-s)>>1);
		build(s,m,p*2);
		build(m+1,t,p*2+1);
		d[p]=d[p*2]+d[p*2+1];
	}
}

void update(int l,int r,int c,int s,int t,int p){
	if(l<=s&&t<=r){
		d[p]+=(t-s+1)*c;
		b[p]+=c;
		return;
	}
	else{
		int m=s+((t-s)>>1);
		if(b[p]&&s!=t){
			d[p*2]+=b[p]*(m-s+1);
			d[p*2+1]+=b[p]*(t-m);
			b[p*2]+=b[p];
			b[p*2+1]+=b[p];
			b[p]=0;
		}
		if(l<=m) update(l,r,c,s,m,p*2);
		if(m+1<=r) update(l,r,c,m+1,t,p*2+1);
		d[p]=d[p*2]+d[p*2+1];
	}
}

ll getsum(int l,int r,int s,int t,int p){
	if(l<=s&&t<=r){
		return d[p];
	}
	int m=s+((t-s)>>1);
	if(b[p]){
		d[p*2]+=b[p]*(m-s+1);
		d[p*2+1]+=b[p]*(t-m);
		b[p*2]+=b[p];
		b[p*2+1]+=b[p];		
		b[p]=0;
	}
	ll sum=0;
	if(l<=m) sum+=getsum(l,r,s,m,p*2);
	if(m+1<=r) sum+=getsum(l,r,m+1,t,p*2+1);
	return sum;
}

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	build(1,n,1);
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int type;
		scanf("%d",&type);
		if(type==1){
			int x,y,k;
			scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
			update(x,y,k,1,n,1);
		}
		else{
			int x,y;
			scanf("%d%d",&x,&y);
			cout<<getsum(x,y,1,n,1)<<endl;
		}
	} 
	return 0;
}