Programming Challenges 习题7.6.2

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本文探讨了Carmichael数的定义及检测方法，通过枚举和模幂运算优化，实现了一个判断给定合数是否为Carmichael数的算法，并提供了完整的C++代码示例。

PC/UVa：110702/10006

Carmichael Numbers

一看到这道题就想起当年被1024位RSA支配的恐惧了，算一个明文算几个小时。

这题明显说了，对于给定的合数n，如果a ^ n mod n == a对于所有小于n的a成立，那么这个数就是Carmichael数，所以肯定是要从头到尾枚举才能算，能优化的方法就是在模幂运算上。

计算a ^ n mod n时，用的是每次平方，最后补全的方法。比如n为13，依次计算1、2、4、8次方模n的余数再存储，最后还剩5次方，根据5的二进制表示，拆为1和4的和。

过了之后去网上查了一下，有的博客说因为输入n的范围很小，可以直接判断是不是Carmichael数输出就行。如果只能这么玩的话那可真是够了。

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

bool Prime(unsigned int n)
{
	if(n == 2) return true;
	if(n % 2 == 0) return false;
	for (unsigned int i = 3; i * i <= n; i += 2)
	{
		if (n % i == 0) return false;
	}
	return true;
}

void Carmichael(unsigned int n)
{
	//判断是否是合数
	if (Prime(n)){
		cout << n << " is normal." << endl;
		return;
	}
	for (unsigned int i = 2; i < n; i++)
	{
		//(a ^ n) mod n
		unsigned int a = i, j;
		vector<unsigned int> viRem(1, a);
		for (j = 2; j < n; j <<= 1)
		{
			a = (a * a) % n;
			viRem.push_back(a);
		}
		j >>= 1;
		j = n - j;
		for (int k = 0; j != 0; k++, j >>= 1)
		{
			if ((j & 0x1) == 1) a = (a * viRem[k]) % n;
		}
		if(a != i){
			cout << n << " is normal." << endl;
			return;
		}
	}
	cout << "The number " << n << " is a Carmichael number." << endl;
	return;
}

int main()
{
	unsigned int n;
	while (cin >> n){
		if (n == 0) break;
		Carmichael(n);
	}
	return 0;
}
/*
1729
17
561
1109
431
0
*/