Programming Challenges 习题6.6.3

PC/UVa：110603/10198

Counting

给一个输入n，找出有多少种使用1、2、3、4的排列，使得和为n。特别的，这里的1和4是相同的，都当做1用，比如1 + 2 + 3 = 6，而4 + 2 + 3 = 6。假如输入是4，则排列方式有13、112、22、1111、121、211、31这么多种，又因为1和4都代表1，所以总的排列方式为2 + 4 + 1 + 16 + 4 + 4 + 2 = 33种。

写之前先在uDebug上试了一下输入是1000的时候结果有过大，结果很大，所以这题肯定得是高精度了。

然后就想可不可以直接计算。按照搜索的方式可以把所有可能的排列算出来，按照1、2、3扩展的方式，会得到排列1111、112、121、13、211、22、31。在n特别大时，这一次的搜索就用去了很长时间了，然后再根据1和4等价的条件，进行高精度运算，超时是没得说了，所以这题应该空间换时间。

DP中有一个上台阶的题目，是说第n级台阶可以通过n - 1级上1步得到，也可以通过n - 2级一次上2步得到，也可以通过n - 3级一次上3步得到。这道题可以通过将1、2、3加入到已有排列的末尾得到新的排列，所以递推公式就是F(n) = F(n - 3) + F(n - 2) + 2 * F(n - 1)。

代码里边有一个add2()函数，每次两个数相加，4个数要加3次，也就是3倍的复杂度。这么运行的话建表的时间大概8秒，肯定会超时了，然后就又写了一个add4()函数，4个相加只加1次，建表时间大概2秒。因为参数中保证了str1.size() <= str2.size() <= str3.size() == str4.size()，所以肯定是str1先退出，然后是str2。

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>

#define N 1000

using namespace std;

string add2(const string &str1, const string &str2)
{
	size_t i = 0, j = 0;
	string strRet;
	int carry = 0, sum = 0;
	while (i < str1.size() && j < str2.size()){
		sum = str1[i] - '0' + str2[j] - '0' + carry;
		if (sum >= 10){
			sum -= 10;
			carry = 1;
		}
		else carry = 0;
		strRet.push_back(sum + '0');
		i++, j++;
	}
	while (i < str1.size()){
		sum = str1[i] - '0' + carry;
		if (sum >= 10){
			sum -= 10;
			carry = 1;
		}
		else carry = 0;
		strRet.push_back(sum + '0');
		i++;
	}
	while (j < str2.size()){
		sum = str2[j] - '0' + carry;
		if (sum >= 10){
			sum -= 10;
			carry = 1;
		}
		else carry = 0;
		strRet.push_back(sum + '0');
		j++;
	}
	if (carry == 1) strRet.push_back('1');
	return strRet;
}

string add4(const string &str1, const string &str2, const string &str3, const string &str4)
{
	size_t i1 = 0, i2 = 0, i3 = 0, i4 = 0;
	string strRet;
	int carry = 0, sum = 0;
	while (i1 < str1.size()
		&& i2 < str2.size()
		&& i3 < str3.size()
		&& i4 < str4.size()){
		sum = str1[i1] - '0' + str2[i2] - '0' + str3[i3] - '0' + str4[i4] - '0' + carry;
		carry = sum / 10; 
		sum = sum % 10;
		strRet.push_back(sum + '0');
		i1++, i2++, i3++, i4++;
	}
	while (i2 < str2.size()
		&& i3 < str3.size()
		&& i4 < str4.size()){
		sum = str2[i2] - '0' + str3[i3] - '0' + str4[i4] - '0' + carry;
		carry = sum / 10;
		sum = sum % 10;
		strRet.push_back(sum + '0');
		i2++, i3++, i4++;
	}
	while (i3 < str3.size()
		&& i4 < str4.size()){
		sum = str3[i3] - '0' + str4[i4] - '0' + carry;
		carry = sum / 10;
		sum = sum % 10;
		strRet.push_back(sum + '0');
		i3++, i4++;
	}
	while (i4 < str4.size()){
		sum = str4[i4] - '0' + carry;
		carry = sum / 10;
		sum = sum % 10;
		strRet.push_back(sum + '0');
		i4++;
	}
	if (carry > 0) strRet.push_back(carry + '0');
	return strRet;
}

void build(vector<string> &vecstrTbl)
{
	string str;
	for (size_t i = 3; i < N; i++)
	{
		str = add4(vecstrTbl[i - 3], vecstrTbl[i - 2], vecstrTbl[i - 1], vecstrTbl[i - 1]);
		/*
		str = vecstrTbl[i - 3];
		str = add2(str, vecstrTbl[i - 2]);
		str = add2(str, vecstrTbl[i - 1]);
		str = add2(str, vecstrTbl[i - 1]);
		*/
		vecstrTbl.push_back(str);
	}
}

int main()
{
	int n = 0;
	vector<string> vecstrTbl;
	vecstrTbl.push_back("2");
	vecstrTbl.push_back("5");
	vecstrTbl.push_back("31");
	build(vecstrTbl);
	while (cin >> n){
		cout << string(vecstrTbl[n - 1].rbegin(), vecstrTbl[n - 1].rend()) << endl;
	}
	return 0;
}
/*
2
3
*/