多米诺牌的完美覆盖

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从古至今，“不可能”似乎都是被人们批判的。因为随着时代的发展，很多我们认为不可能的事情都最终被证实是可能的。但作为一门严密的科学，数学能够证明许多事情是不可能的。而且，一旦这些严格的证明给出后，它将使所有人信服。如果有人否认 可以证明一些事情是不可能的，那他本身不就是矛盾的么？假设没有事情可以证明是不可能的，而你又证明了前面这句话，那么你不就证明了“证明事情是不可能的”是不可能的了么？显然自相矛盾。呵呵，刚才我就用了一种“证明不可能性”常用的方法－－反证法。这种方法在证明不可能性中被广泛的应用。在这篇日志里，我将给大家一个例子。以后的相关日志会更精彩！
假如你有一个西洋跳棋盘，并开始把多米诺骨牌放到这个棋盘上，每个多米诺骨牌正好覆盖两个方格，显然你有很多种放法：

现在你把棋盘对角的两个格子拿掉。你还能用多米诺骨牌填满这个棋盘么？
显然不能。下面我就来证明一下：注意到每个多米诺骨牌都占据一个红色格子和一个白色格子。如果你把对角的两个格子拿掉(如下图)，就只剩下32个白色格子和30个红色格子。按照红白一一配对的原则，我们剩下了两个白色的格子。而刚才已经知道，每个多米诺骨牌只能占据一个白色的格子和一个红色的格子。所以我们便证明了这件事情是不可能的。

也许有人会问：如果拿掉那两个格子以后，我把其中一个格子涂成红色，那么不就是31红31白了么？这样也是不行的，因为棋盘上的格子都是交错的，一旦你把其中一个白色涂成红色，那么必有一个多米诺骨牌同时占据了两个红色的格子。这样就剩下29红31白，又回到了上面的情况。
这里我要提到的是，在拿掉对角的两个格子以后，不管你怎么安排格子的颜色，想要用多米诺骨牌填满棋盘都是不可能的。传统的西洋跳棋盘的涂色方法使我们证明起来更容易。实际上，许多不可能性的证明都是通过一系列的转化把问题转化为容易证明的情况，一旦证明了这种情况是不可能的，问题便解决了。