Euclidean Algorithm

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本文详细介绍了欧几里得算法，又称辗转相除法，用于寻找两个正整数的最大公因子。该算法不仅历史久远，而且在现代计算机科学中仍然广泛应用。通过实例演示了算法的执行过程，包括递归和循环两种实现方式，以及如何应用到多项式、复整数和欧几里德定义域内的数值计算。

http://dict.youdao.com/w/euclidean_algorithm/#q%3Dbk%253A%25E8%25BE%2597%25E8%25BD%25AC%25E7%259B%25B8%25E9%2599%25A4%25E6%25B3%2595%26keyfrom%3Dwiki.related%26le%3Deng

辗转相除法, 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法, 其可追溯至前300年。它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。它并不需要把二数作质因子分解。

辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的：

1. 若 r 是 a ÷ b 的余数, 则

      gcd(a,b) = gcd(b,r)

2. a 和其倍数之最大公因子为 a。

另一种写法是：

1. a ÷ b，令r为所得余数（0≤r＜b）

      若 r = 0，算法结束；b 即为答案。

2. 互换：置 a←b，b←r，并返回第一步。

这个算法可以用递归写成如下:

function gcd(a, b) {
if (a 不整除 b)
      return gcd(b, a mod b);
else
      return a;
}

或纯使用循环:

function gcd(a, b) {
define r as integer;
while b ≠ 0 {
      r := a mod b;
      a := b;
      b := r;
}
return a;
}

其中“a mod b”是指取 a ÷ b 的余数。

例如，123456 和 7890 的最大公因子是 6, 这可由下列步骤看出：
a b a mod b
123456 7890 5106
7890 5106 2784
5106 2784 2322
2784 2322 462
2322 462 12
462 12 6
12 6 0

只要可计算余数都可用辗转相除法来求最大公因子。这包括多项式、复整数及所有欧几里德定义域（Euclidean domain）。

辗转相除法的运算速度为 O(n2)，其中 n 为输入数值的位数。