和角公式

今天做 SICP 练习 1.15，需要用到和角公式，虽然会写，但是忘了怎么证明了，在 mathworld 里找到了很精彩的证明：

这里用到了欧拉公式，之前发过日志记录了证明了，不过发现用积分来证十分巧妙！

; SICP ex1.15

; 在弧度 x 很小时，其正弦值 sinx 可以用 x 代替。

; 并且有恒等式 sinx = 3sin(x/3) - 4sin³(x/3)

; 使用 DrScheme 执行

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(define (cube x) (* x x x))
(define (p x) (- (* 3 x) (* 4 (cube x))))
(define (sine angle)
  (if (not (> (abs angle) 0.01))
  angle
  (p (sine (/ angle 3.0)))))

; 和标准函数比较

>(sine 0.5)

0.4794283252628956

> (sin 0.5)
0.479425538604203

=====================C 程序========================

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define eps 0.01

double sine(double x)
{
 if(fabs(x) < eps) return x;
 double sine3th = sine(x / 3.0);
 return 3 * sine3th - 4 * sine3th * sine3th * sine3th;
}

int main()
{
 printf("%.6f/n", sine(0.5));
 printf("%.6f/n", sin(0.5));
 return 0;
}

====================================================

算法时间复杂度为 log3(x / eps)。