深入理解卷积神经网络(CNN)——从原理到实现

王琦      QQ：451165431      计算机视觉&深度学习

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本篇通过在MNIST上的实验，引出卷积神经网络相关问题，详细阐释其原理以及常用技巧、调参方法。欢迎讨论相关技术&学术问题，但谢绝拿来主义。

代码是博主自己写的，因为倾向于详细阐述底层原理，所以没有用TensorFlow等主流DL框架。实验结果与TF等框架可能稍有不同，其原因在于权重初始化方式的差异等，但并不影响对于网络的本质的理解。

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实验概述

数据集

• MNIST：0-9共10个数字，其中，60000条训练样本，10000条测试样本，每条样本分辨率为$28\times28$。拉伸为$1$维向量，因而为$28\times28=784$维。

实验平台

• Python 2.7

实验内容

通过CNN完成对MNIST数据集的分类。具体有需要实现一下三部分：

• 卷积层：实现卷积层，包含 Conv2D, Relu, AvgPooled2D，其中，Relu 在作业一中已经实现
• 可视化：实现 第一个卷积层的可视化（经过 Relu 激活之后）
• 损失函数：实现 SoftmaxCrossEntropyLoss

实验原理

二维卷积 Conv2D

对于两个二维矩阵 $I,K$，其卷积的数学表述为：

$$S(i,j)=(I*K)(i,j)=\sum_{m}\sum_{n}I(m,n)\cdot K(i-m,j-n)$$
其中， $*$ 表示卷积运算， $\cdot$ 表示点积。卷积运算满足交换律：
$$S(i,j)=(K*I)(i,j)=\sum_{m}\sum_{n}I(i-m,j-n)\cdot K(m,n)$$
由于在CNN中，卷积核往往是通过优化学习得到的，所以一般来讲，卷积和相关性是等价的：
$$S(i,j)=(K*I)(i,j)=\sum_{m}\sum_{n}I(i+m,j+n)\cdot K(m,n)$$
下图为相关性计算的示意图，卷积则只需将Kernel旋转 $180^{\circ}$ 即可：

池化 Pooling

将特征分为若干个相交/不相交的区域，再在每个区域上通过计算其最大值 (max-pooling) /均值 (average-pooling)，得到其池化特征。下图为最大池化 (max-pooling)的示意图：

罗杰斯特回归 Logistic Regression

对于一个二分类问题，设有两类$\omega_0,\omega_1$，标签分别为 $0,1$，相应的网络只有一个输出神经元，则：

$$\begin{eqnarray} &P(t=1\mid x)&=\frac{1}{1+exp({-\theta^{T}\cdot x})}\triangleq h(x) \\\ &P(t=0\mid x)&=1-h(x) \\\ \end{eqnarray}$$

其中， $x$ 是样本， $t\in (0,1)$ 是标签。对于包含 $N$ 个独立同分布样本的数据集，记样本为 $x^{(n)}$，对应的标签为 $t^{(n)}$，有：

$$p(t^{(n)}\mid x^{(n)}, \theta)=h(x^{(n)})^{t^{(n)}}\cdot (1-h(x^{(n)}))^{(1-{t^{(n)}})}$$

由于样本满足独立同分布，所以

$$p(t^{(1)},t^{(2)},...,t^{(N)}\mid x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(N)}, \theta)=\prod _{n=1}^{N} h(x^{(n)})^{t^{(n)}}\cdot (1-h(x^{(n)}))^{(1-{t^{(n)}})}$$

通过最大似然原理，使得上述概率密度最大，也就是使得下式取得最小（误差函数）：

$$\begin{eqnarray} E(\theta)&=&-\ln p(t^{(1)},t^{(2)},...,t^{(N)}\mid x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(N)}, \theta) \\\ &=&-\sum_{n=1}^{N}(t^{(n)}\cdot h(x^{(n)}) + (1-{t^{(n)}})\cdot (1-h(x^{(n)}))) \\\ &=&\sum_{n=1}^{N}E(\theta)^{(n)} \end{eqnarray}$$

其中，$E(\theta)^{(n)}$为交叉熵误差函数 (Cross-entropy Error Function)，定义如下：

$$E(\theta)^{(n)}=-t^{(n)}\cdot h(x^{(n)}) - (1-{t^{(n)}})\cdot (1-h(x^{(n)}))$$

对于网络的训练阶段，是寻找合适的 $\theta$ 最小化上述损失函数；在网络的预测阶段，若 $P(t=1\mid x)>P(t=0\mid x)$，则预测为 $\omega_1$，否则为 $\omega_0$。

Softmax 回归 Softmax Regression

对于 $K$ 分类问题（$K>2$），标签为 $K$ 位的 $0-1$ 形式，即属于第 $i$ 类，则第 $i$ 位为 $1$，其他位为 $0$。和罗杰斯特回归类似，定义：

$$h_{k}(x)\triangleq P(t_{k}=1\mid x, \theta)=\frac{{exp({\theta_{k}^{T}}}\cdot x)}{\sum_{j=1}^{K}{exp({\theta_{j}^{T}}}\cdot x)}$$

优化目标为：寻找一个合适的 $\theta$，使得：

• 当 $x \in \omega_{k}$ 时，$P(t_{k}=1\mid x,\theta)$ 尽可能大
• 当 $x \notin \omega_{k}$ 时，$P(t_{k}=1\mid x,\theta)$ 尽可能小

Softmax 函数：

ϕ(zi)=ezi∑je