卡塔兰数及其应用

卡塔兰数

一、常用公式

h(n) = h(n-1)*2(2n-1)/(n+1)，h(0)=1，n>=1

二、应用

1.栈的出栈次序 — h(n)

概述：

入栈顺序为1,2,3 … n 时，出栈顺序有h(n)种。

分析：

• n=1
  • 1入栈再出栈。[1]
• n=2
  • 1入栈出栈，2入栈出栈。[1,2]
  • 1入栈，2入栈，2出栈，1出栈。[2,1]
• n=3
  • 1入栈出栈，2入栈出栈，3入栈出栈。[1,2,3]
  • 1入栈出栈，2入栈，3入栈，3出栈，2出栈。[1,3,2]
  • 1入栈，2入栈，2出栈，1出栈，3入栈，3出栈。[2,1,3]
  • 1入栈，2入栈，2出栈，3入栈，3出栈，1出栈。[2,3,1]
  • 1入栈，2入栈，3入栈，3出栈，2出栈，1出栈。[3,2,1]
  • 无法实现[3,1,2]。因为若3是第一个出栈，则代表1，2肯定没出栈，要不然第一个出栈的就是1或2而不是3。此时栈内元素为[123] ，出栈顺序只能为3，2，1。

……

2.不同的二叉搜索树个数 — h(n)

概述：

二叉搜索树由结点值分别为[1,n]的n个结点构成，一共能构成h(n)个不同的二叉搜索树

分析(二叉树序列用层序遍历得到)：

• n=1
  • [1]
• n=2
  • [2,1]
  • [1,null,2]
• n=3
  • [1,null,2,null,3]，[1,null,3,2,null]
  • [2,1,3] — 2正好大于1，小于3。就一种
  • [3,2,null,1,null] ，[3,1,null,null,2]

……

三、代码实现 — 已知n求h(n)

public int catalan(int n){	// n >= 1
	long h = 1;//用long防止计算过程中类型溢出。h(0) = 1
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		h = h*2*(2*i-1)/(i+1);
	}
	return (int)h;
}