<think>好的,我现在需要帮助用户解答关于“P1002 Java”的问题。根据用户提供的引用内容,看起来P1002指的是洛谷上的一个题目,具体是过河卒问题。用户可能是在问如何用Java解决这个问题,或者关于该题目的具体实现方法。
首先,我要回顾一下过河卒问题的描述。根据引用[3],题目中棋盘上的A点是(0,0),B点是(n,m),而卒需要从A走到B,且只能向右或向下移动。同时,马的位置及马控制的点是不可通过的。因此,这是一个典型的动态规划问题,需要计算从起点到终点的路径数,避开被马控制的点。
接下来,引用[1]和引用[2]提到了递推式,即DP[i][j] = DP[i-1][j] + DP[i][j-1],这应该是该问题的状态转移方程。也就是说,到达某一点的路径数等于左边和上边点的路径数之和,前提是该点不是被马控制的点。
用户的问题可能集中在如何用Java实现这个动态规划算法。我需要考虑以下几个方面:
1. **输入处理**:读取马的位置和终点坐标。
2. **标记马的控制点**:确定哪些坐标是被马控制的,不可通过。
3. **初始化DP数组**:处理边界条件,比如第一行和第一列,如果在这些边界上遇到被控制的点,后面的点也无法到达。
4. **递推计算**:按照状态转移方程填充DP数组。
5. **输出结果**:DP[n][m]即为答案。
同时,需要注意数组的索引是否越界,比如是否考虑了从0开始还是从1开始的坐标。根据引用[3],题目中A点是(0,0),所以可能需要将坐标整体偏移,避免负数索引。或者,可能在实现时把DP数组定义为(n+1) x (m+1),以包含起点到终点的所有点。
另外,马的控制点有8个方向,需要正确计算这些位置,并检查是否在棋盘范围内。例如,如果马的位置是(x,y),那么被控制的点包括(x±1, y±2)和(x±2, y±1)等,共8个点。需要确保这些点不超出棋盘边界,否则会引发数组越界错误。
在初始化DP数组时,DP[0][0]应该是1,因为起点只有一种路径(不动)。然后,第一行和第一列的每个点,如果未被控制,则其路径数等于前一个点的路径数(因为只能向右或向下走)。如果在第一行或第一列中某个点被控制,那么其后的点都无法到达,路径数保持为0。
接下来,编写Java代码的大致步骤:
- 读取输入n, m, 马的位置x, y。
- 创建一个二维数组dp,大小为(n+1) x (m+1)。
- 创建一个二维布尔数组标记障碍点。
- 计算并标记马的控制点。
- 初始化dp[0][0] = 1,如果起点未被控制。
- 处理第一行和第一列的初始化。
- 填充其他位置的dp值,跳过被控制的点。
- 最后输出dp[n][m]。
需要注意的边界情况包括:当马的位置正好在起点或终点时,路径数为0;当n或m为0时,路径可能只有一条,但需要检查是否被马控制。
现在,可能需要处理坐标的偏移问题,比如题目中的坐标是否允许负数,或者是否需要将坐标整体调整。例如,马的位置可能在棋盘之外,但根据题目描述,应该是给出的位置在棋盘范围内,所以可能需要验证输入的有效性,但题目可能假设输入是合法的。
此外,在Java中,数组索引从0开始,而题目中的坐标也是从0开始,所以可能不需要偏移。例如,B点是(n,m),对应数组的索引就是n和m,只要n和m不超过20,数组的大小设为n+1和m+1即可。
举个例子,假设n=6,m=6,马的位置在(3,3)。那么被控制的点包括(4,5), (5,4), (2,5), (1,4), (4,1), (5,2), (2,1), (1,2)等。需要将这些点标记为障碍。
在初始化dp数组时,第一行dp[0][j]的值取决于左边的点是否可达,且当前点是否未被控制。例如,如果dp[0][0]是1,那么dp[0][1]如果未被控制,就是dp[0][0]的值,即1。如果中间某个点被控制,那么后续的点都为0,因为无法到达。
同样的,第一列dp[i][0]的值也是如此。
然后,对于i>=1和j>=1的位置,如果当前位置未被控制,则dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。否则,dp[i][j] = 0。
现在,我需要考虑如何正确标记这些被控制的点。例如,给定马的坐标(hx, hy),那么周围的八个点是:
(hx + 2, hy + 1)
(hx + 2, hy - 1)
(hx - 2, hy + 1)
(hx - 2, hy - 1)
(hx + 1, hy + 2)
(hx + 1, hy - 2)
(hx - 1, hy + 2)
(hx - 1, hy - 2)
需要检查这些点是否在0 <= x <=n 和 0 <= y <=m范围内,如果超出则不标记,否则标记为障碍。
在Java代码中,可以使用一个二维布尔数组blocked[][],初始化为false,然后对于每个方向,计算坐标,如果坐标在合法范围内,则设置blocked[x][y] = true。
同时,还需要将马本身的位置(hx, hy)标记为障碍,因为卒不能走到马的位置。
例如,在代码中:
int hx = ...; // 输入的马的x坐标
int hy = ...; // 输入的马的y坐标
然后:
blocked[hx][hy] = true;
然后循环八个方向,计算新的坐标,并检查是否在0<=x<=n和0<=y<=m范围内,如果是,则标记为true。
然后初始化dp数组:
dp[0][0] = blocked[0][0] ? 0 : 1;
然后处理第一行:
for (int j = 1; j <= m; j++) {
if (!blocked[0][j]) {
dp[0][j] = dp[0][j-1];
} else {
dp[0][j] = 0;
}
}
处理第一列:
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (!blocked[i][0]) {
dp[i][0] = dp[i-1][0];
} else {
dp[i][0] = 0;
}
}
然后填充其他位置:
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
if (!blocked[i][j]) {
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
} else {
dp[i][j] = 0;
}
}
}
最后输出dp[n][m]。
需要注意的是,n和m的最大值是20,所以数组的大小不会太大,不会导致内存问题。
另外,输入的处理可能需要将马的坐标转换为整数,例如,用户输入可能是四个整数:n, m, hx, hy,根据题目描述,例如引用[3]中的说明,B点是(n,m),而马的位置需要给出。
例如,输入可能是:
6 6 3 3
这样,B点是(6,6),马的位置是(3,3)。
现在,用户可能的问题是关于如何用Java实现这个算法,或者遇到某些错误,例如数组越界,或者结果不正确。
此外,可能需要处理当起点或终点被马控制的情况,此时结果直接为0。
综上,我需要将上述思路整理成清晰的步骤,并提供一个正确的Java代码示例,同时回答用户的问题,并生成相关问题。</think>### P1002 [NOIP2002 普及组] 过河卒 Java 实现解析
#### 问题描述
棋盘上,卒从$A(0,0)$出发到$B(n,m)$,只能**向右或向下**移动。马的位置$(hx,hy)$及其控制的**8个点**不可通过。求所有合法路径数[^3]。
#### 算法思路
1. **动态规划定义**
设$dp[i][j]$表示从$(0,0)$到$(i,j)$的路径数。递推公式为:
$$
dp[i][j] =
\begin{cases}
0 & \text{若}(i,j)\text{被马控制} \\
dp[i-1][j] + dp[i][j-1] & \text{否则}
\end{cases}
$$
[^2]
2. **边界初始化**
- 第一行:$dp[0][j] = dp[0][j-1]$(只能从左边来)
- 第一列:$dp[i][0] = dp[i-1][0]$(只能从上方来)
3. **标记障碍点**
马的位置及其控制的8个点需标记为不可达[^1]。
#### Java代码实现
```java
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
int m = sc.nextInt();
int hx = sc.nextInt();
int hy = sc.nextInt();
// 创建棋盘,标记障碍点
boolean[][] blocked = new boolean[n+1][m+1];
int[][] dp = new int[n+1][m+1];
int[] dx = {2, 2, -2, -2, 1, 1, -1, -1};
int[] dy = {1, -1, 1, -1, 2, -2, 2, -2};
// 标记马的位置
blocked[hx][hy] = true;
// 标记马的控制点
for (int i = 0; i < 8; i++) {
int x = hx + dx[i];
int y = hy + dy[i];
if (x >= 0 && x <= n && y >= 0 && y <= m) {
blocked[x][y] = true;
}
}
// 初始化起点
dp[0][0] = blocked[0][0] ? 0 : 1;
// 初始化第一行
for (int j = 1; j <= m; j++) {
if (!blocked[0][j]) {
dp[0][j] = dp[0][j-1];
}
}
// 初始化第一列
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (!blocked[i][0]) {
dp[i][0] = dp[i-1][0];
}
}
// 动态规划递推
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
if (!blocked[i][j]) {
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
}
}
}
System.out.println(dp[n][m]);
}
}
```
#### 关键点说明
1. **输入处理**:读取棋盘终点$B(n,m)$和马的位置$(hx,hy)$。
2. **障碍标记**:通过方向数组标记马控制的8个点,需判断是否越界。
3. **边界初始化**:若起点被标记,直接输出0。
4. **空间优化**:若棋盘较大,可用滚动数组优化空间至$O(m)$。