45.不同的路径II

一、题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

二、解题思路

我们用 f(i, j)表示从左上角(0,0)走到 (i, j) 的路径数量，其中 i 和 j的范围分别是 [0, m) 和 [0, n)，u(i, j) 表示坐标 (i, j)是否可行，如果坐标 (i,j) 有障碍物，u(i,j)=0，否则 u(i,j)=1。

由于我们每一步只能从向下或者向右移动一步，因此要想走到 (i, j)，如果向下走一步，那么会从 (i-1, j)走过来；如果向右走一步，那么会从 (i, j-1)(i,j−1) 走过来。因此我们可以写出动态规划转移方程：

f(i, j) = f(i-1, j) + f(i, j-1)

当坐标 (i, j)本身有障碍的时候，任何路径都到到不了 f(i, j)，此时 f(i,j)=0；下面我们来讨论坐标(i,j) 没有障碍的情况：如果坐标(i−1,j) 没有障碍，那么就意味着从坐标(i−1,j) 可以走到 (i,j)，即 (i−1,j) 位置对f(i,j) 的贡献为 f(i - 1, j)，同理，当坐标 (i,j−1) 没有障碍的时候，(i,j−1) 位置对 f(i,j) 的贡献为f(i,j−1)。综上所述，我们可以得到这样的动态规划转移方程：

上面是题目的分析过程，那么根据动规五部曲我们来一步步编程：

第一步：确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

第二步：确定递推公式

递推公式和62.不同路径⼀样，dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。

但这⾥需要注意⼀点，因为有了障碍，(i, j)如果就是障碍的话应该就保持初始状态（初始状态为0）。

所以代码为：

if (obstacleGrid[i][j] == 0) { // 当(i, j)没有障碍的时候，再推导dp[i][j]
	dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}

第三步：dp数组的初始化

如果(i, 0) 这条边有了障碍之后，障碍之后（包括障碍）都是⾛不到的位置了，所以障碍之后的dp[i][0]

应该还是初始值0。

所以本题的初始化代码为：

for (int i = 0; i < m; && obstacleGrid[i][0]==0; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; obstacleGrid[0][j]==0; j++) dp[0][j] = 1;

第四步：确定遍历顺序

从递归公式dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]中可以看出，⼀定是从左到右⼀层⼀层遍历，这样保证推导

dp[i][j]的时候，dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1]⼀定是有数值。

for (int i = 1; i < m; i++) {
	for (int j = 1; j < n; j++) {
		if (obstacleGrid[i][j] == 0)
			dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
	}
}

第五步：举例推导dp数组

三、代码演示

class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        //格子为空或者格子数组长度为0时返回0
        if(obstacleGrid == null || obstacleGrid.length == 0){
            return 0;
        }

        //定义dp数组
        int m = obstacleGrid.length, n = obstacleGrid[0].length;
        int[][] dp = new int[m][n];
        //初始化dp数组的第一行和第一列
        for(int i=0; i<m && obstacleGrid[i][0]==0; i++){
            dp[i][0] = 1;
        }
        for(int j=0; j<n && obstacleGrid[0][j]==0; j++ ){
            dp[0][j] = 1;
        }

        //层层遍历，实现动态转移方程
        for(int i=1; i<m; i++){
            for(int j=1; j<n; j++){
                if(obstacleGrid[i][j]==0){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
                }
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
}