splay学习笔记及模板

splay很灵活的,它既可以作为一棵二叉查找树又可以作为一棵区间树,不过不能共存。
因此从两方面来说splay。
一、splay的rotate,splay操作
splay不是特别平衡。不过splay还算是平衡树吧,是有维护平衡的方式的。
splay维护平衡的方式就是提根。查询完了某个节点,就把这个节点提根。这样经过证明每次操作是均摊log(n)的。
提根就是不停旋转,一次旋转,目标节点总可以被转上去一层,然后最终会到根。单旋和其他平衡树一样。
然后注意splay比别的平衡树多了2种双旋,即zigzig和zagzag。
为什么呢?因为如果原来splay是一条链(且是一条直链,即左儿子连左儿子一直连下去),把链的尾部提根,如果像别的平衡树一样旋转(自底向上)那么转完了还是一条链,高度没有降低,最坏是O(n)的。
对于这种情况,zigzig和zagzag就有用了。
这种双旋是这样来的:
这里写图片描述
如果我们把最下面的点提根,那就要先zig目标节点的父亲,再zig目标节点。(不同于自底向上zig)
这样树的高度缩小了。只需要我们多一个维护当前节点的父亲。
总结一下,单旋和以前一样,不过要维护父亲。
提根(splay)操作,把当前节点转成目标节点的儿子。
如果目标节点(一般是0,即转成根;有时是根,即转成根的儿子)不是当前点的父亲的父亲,那么就要双旋。折线形就zigzag,zagzig,直线形就是zigzig,zagzag。
如果是,那么就只单旋一次退出循环。
二、平衡树
splay作为平衡树,可以O(logn)完成普通平衡树支持的所有操作。并且由于其支持区间树的特性,很多操作都有两种以上的写法。
插入:与二叉查找树类似。最后要提根。
求前驱:有很多写法了。可以从根向下找(类似于二叉查找树find),找到key[x] < val的就更新。也可以find到目标点,然后提根,在根的左子树里面找最大值。
求后继:同上。
求x的排名:有很多写法了。可以从根向下找,跑到右边子树去了就得+左边的size+根的tot,还可以找到x的前驱,把x的前驱提根,返回此时左边的size+根的tot+1。
求第k大:这个貌似还是像以前一样,从根向下找。
删除x:好像用以前的二叉查找树的方法也可以。。不过还有更简单的,就是找到x的前驱,提根,找到x的后继,提到右儿子。删掉根的右儿子的左儿子,即x。删一段区间也可以这么来,感觉比较像区间树了。
三、可重平衡树
这个和以前一样了,维护一个tot域,然后就可以做了。
没有SBT维护tot域麻烦因为这个sz没有两个意思,删除操作不用以前的,就用提根这样来删代码不怎么复杂。
四、pushup和pushdown
splay的旋转是把一个点向上转,那么需要pushup
pushup主要是在平衡树rotate,splay的时候调用,区间树也是rotate,splay的时候调用,有个build也会用,对某个子区间操作后还要pushup上去更新全区间。
在平衡树中,pushup主要维护一个size
在区间树中,pushup主要维护和别的与儿子有关的参数例如size,min,max,sum,rl(右侧子串长),ll(左侧子串长),maxl(拼合后整个区间子串长)等等,比较像线段树。
不过一定要注意,splay的父节点也要参与其中
如线段树维护一个sum:

tree[x].sum=tree[2*x].sum+tree[2*x+1].sum;

splay维护一个sum:

sum[x]=v[ch[x][0]]+v[ch[x][0]]+v[x];

平衡树很少有pushdown。
区间树的pushdown和线段树很像。主要是一个lazy标记。比如rev(翻转标记),delta(区间增加标记)等等。
因为区间翻转,就是左右子树交换,递归下去,继续左右子树交换,直到叶子。但是lazy操作,只把rev标记打在一段区间上,如果要访问这个区间的子区间,即在树上往下走时,再交换左右子树把rev消除掉。delta同理,先打在根上,还有往下走再把根的左右儿子加上delta,把根的delta重置。
因此,pushdown操作主要是发生在从根往下走,走到儿子前pushdown一次。
五、区间树
区间树主要维护一个数列。也可以认为它是一棵二叉查找树,不过key值变成了数列中的下标而非实值。
不过这样不怎么好写。。比如在第x个数后面插入一个y。下标就变了。
因此写区间树就不要想着平衡树,因此,splay就不支持动态区间第k大这种。
区间树还有一个rotateto(x,goal)操作。就是把当前数列中第x个元素提到goal位置。实现就是平衡树的第k大找到节点后splay。再说一遍,这个不需要专门维护下标,只需要size就可以了。
有了这些,区间树支持以下操作:
1.insert(x,y)在第x个数后面插入一个y。就是rotateto(x,0),rotateto(x+1,root)。然后新建一个节点接在根的右儿子的左儿子上面,完了记得pushup,后面不重复提醒了。
2.delete(l,r)删除位置为[l,r]的所有数。就是rotateto(l-1,0),rotateto(r+1,root)。然后以根的右儿子的左儿子为根的子树全砍掉。
3.add(l,r)把位置为[l,r]的所有数+1。就是rotateto(l-1,0),rotateto(r+1,root)。根的右儿子的左儿子的delta++。
4.reverse(l,r)翻转位置为[l,r]的所有数。就是rotateto(l-1,0),rotateto(r+1,root)。根的右儿子的左儿子的rev^=1。
5.min/max/sum(l,r)返回位置为[l,r]的所有数的最小/最大/和。就是rotateto(l-1,0),rotateto(r+1,root)。根的右儿子的左儿子的min/max/sum。
通过以上操作的复合和对其他数据的维护,还可以增加很多别的更复杂的操作。

可持久化splay是一种数据结构,它是对splay树进行修改和查询的一种扩展。在传统的splay树中,对树的修改操作会破坏原有的树结构,而可持久化splay树则允许我们对树进行修改、查询,并且可以保存修改后的每个版本的树结构。 在可持久化splay树中,我们不会直接对原树进行修改,而是通过复制每个节点来创建新的版本。这样,每个版本都可以独立地修改和查询,保留了原有版本的结构和状态。每个节点保存了其左子树和右子树的引用,使得可以在不破坏原有版本的情况下进行修改和查询。 为了实现可持久化splay树,我们可以使用一些技巧,比如引用中提到的哨兵节点和假的父节点和孩子节点。这些技巧可以帮助我们处理根节点的旋转和其他操作。 此外,可持久化splay树还可以与其他数据结构相结合,比如引用中提到的可持久化线段树。这种结合可以帮助我们解决更复杂的问题,比如区间修改和区间查询等。 对于可持久化splay树的学习过程,可以按照以下步骤进行: 1. 理解splay树的基本原理和操作,包括旋转、插入、删除和查找等。 2. 学习如何构建可持久化splay树,包括复制节点、更新版本和保存历史版本等。 3. 掌握可持久化splay树的常见应用场景,比如区间修改和区间查询等。 4. 深入了解与可持久化splay树相关的其他数据结构和算法,比如可持久化线段树等。 在解决问题时,可以使用二分法来确定答案,一般称为二分答案。通过对答案进行二分,然后对每个答案进行检查,以确定最终的结果。这种方法可以应用于很多问题,比如引用中提到的在线询问问题。 综上所述,可持久化splay是一种对splay树进行修改和查询的扩展,可以通过复制节点来创建新的版本,并且可以与其他数据结构相结合解决更复杂的问题。学习过程中可以按照一定的步骤进行,并且可以使用二分法来解决一些特定的问题。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span> #### 引用[.reference_title] - *1* [[学习笔记]FHQ-Treap及其可持久化](https://blog.youkuaiyun.com/weixin_34283445/article/details/93207491)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"] - *2* *3* [可持久化数据结构学习笔记](https://blog.youkuaiyun.com/weixin_30376083/article/details/99902410)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"] [ .reference_list ]
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