Link-Cut-Tree学习笔记及洛谷模板

特别鸣谢@gigo_64！感谢他为我讲解了LCT。

LCT，link-cut-tree，用于解决一类动态树的问题。所谓“动态树”，就是说让我们维护若干棵有根树组成的森林。操作往往涉及到对树进行删边(cut)，连接(link)，一些路径操作。而LCT，可以在均摊log(n)的时间内实现上述问题。

与树链剖分类似的是：LCT同样对节点的儿子进行了划分，分为“虚，实”两类，相应的边(链)叫做虚边(链)或实边(链)。且任意时候最多只有一条实链。与树链剖分不同的是：LCT并没有严格地去划分，而是“动态”地改变（主要因为树一直在变化）；且使用了更牛皮的Splay来维护链。

LCT的基本操作：

不妨先让大家有个整体的了解。我们先关心Splay是如何维护链的——按照深度来构造，即深度浅的在左子树，每个Splay中的节点存储了原树该节点子树的信息。由于一个Splay只维护一条链，所以链的分布是要动态变化的。比如我们现在要询问(u,v)路径上的信息，我们需要重新划分这颗树，使得(u,v)在一颗Splay内，这就涉及到两个操作了：

1.access(u)

即把u点到当前树的根节点全部“打成”实链，并把这条实链外的点全部打成虚点，就可以使得Splay来维护我们想维护的路径了。

具体实现是这样的：Splay(u)，这相当于将u点旋转到了u点当前所在路径的根节点，然后再跳到t[u].fa，只要u点存在，就一直迭代下去

inline void access(int u)
{
	for(int v=0;u;u=t[v=u].fa)
		Splay(u),t[u].rc=v,pushup(u);
}

2.Makeroot(u)

即把原树中的根换成u。代码很好理解

inline void makeroot(int u)
{
	access(u); Splay(u);
	t[u].rev^=1;
} 

值得一提的是Reverse标记，由于Splay按照深度为关键字，所以access+splay了过后u点根本就没有右儿子，此时打个标记就能把它变成根了。

还有很多操作，都是万变不离其中的

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T>
inline void read(T &x)
{
	x=0; int f=1;
	static char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f; 
}
const int N=300005;
struct Link_Cut_Tree
{
	int lc,rc,fa,val,rev;
}t[N];
int n,m,val[N];
inline void pushup(int u){t[u].val=val[u]^t[t[u].lc].val^t[t[u].rc].val;}
inline void pushdown(int u)
{
	if(t[u].rev)
	{
		t[t[u].lc].rev^=1;
		t[t[u].rc].rev^=1;
		swap(t[u].lc,t[u].rc);
		t[u].rev=0;
	}
}
inline int which(int u){return t[t[u].fa].rc==u;} 
inline bool isroot(int u)
{
	return t[t[u].fa].lc!=u&&t[t[u].fa].rc!=u;
}
inline void Rotate(int u)
{
	int v=t[u].fa,w=t[v].fa;
	int b=(t[v].rc==u)?t[u].lc:t[u].rc;
	if(!isroot(v)) (t[w].lc==v?t[w].lc:t[w].rc)=u;
	t[v].fa=u; t[u].fa=w;
	if(b) t[b].fa=v;
	if(t[v].rc==u)	t[u].lc=v,t[v].rc=b;
	else t[u].rc=v,t[v].lc=b;
	pushup(v),pushup(u);
}
int sta[N];
inline void Splay(int u)
{
	int top=0;
	sta[++top]=u;
	for(int v=u;!isroot(v);v=t[v].fa) sta[++top]=t[v].fa;
	for(int i=top;i;--i)	pushdown(sta[i]);
	while(!isroot(u))
	{
		if(!isroot(t[u].fa))
		{
			if(which(u)==which(t[u].fa)) Rotate(t[u].fa);
			else Rotate(u);
		}
		Rotate(u);
	}
}
inline void access(int u)
{
	for(int v=0;u;u=t[v=u].fa)
		Splay(u),t[u].rc=v,pushup(u);
}
inline void makeroot(int u)
{
	access(u); Splay(u);
	t[u].rev^=1;
} 
inline int find(int u)	//真实树的根
{
	access(u); Splay(u);
	while(pushdown(u),t[u].lc) u=t[u].lc;
	return u;
} 
inline void Split(int u,int v)	//提取路径 
{
	makeroot(u); 
	access(v); Splay(v);
}
inline void Link(int u,int v)
{
	makeroot(u);
	if(find(v)!=u)	t[u].fa=v;
}
inline void Cut(int u,int v)
{
	makeroot(u);
	if(find(v)==u&&t[u].fa==v&&!t[u].rc) 
		t[v].lc=0,t[u].fa=0,pushup(v);
}
int main()
{
	read(n),read(m);
	for(int i=1;i<=n;i++)	read(val[i]),t[i].val=val[i];
	int opt,x,y;
	while(m--)
	{
		read(opt),read(x),read(y);
		if(opt==0) Split(x,y),printf("%d\n",t[y].val);
		if(opt==1) Link(x,y);
		if(opt==2) Cut(x,y);
		if(opt==3) Splay(x),val[x]=y;
	}
	return 0;
}