SVM中的约束优化问题证明与实现

支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种常用的机器学习算法，广泛应用于分类和回归问题。它通过构建一个最优超平面来实现数据的划分。本文将详细介绍SVM中的约束优化问题，并给出相应的源代码实现。

1. 算法介绍
   SVM旨在找到一个最优超平面，能够将不同类别的数据点分开，并尽可能地使两个类别之间的间隔最大化。这个问题可以被转化为一个约束优化问题，即求解一个二次规划问题。

考虑二类分类问题，训练集包含N个样本点以及对应的标签。假设数据是线性可分的，即存在一个超平面可以把正负样本完全分开。我们希望找到一个超平面，使得正负样本点到超平面的距离最大。

2. 优化目标
   首先，定义超平面方程为：
   w · x + b = 0
   其中w是一个法向量，x是任意样本点。而距离超平面最近的正负样本点分别位于超平面上的两个平行线上，所以有：
   w · x + b = 1 （正样本）
   w · x + b = -1 （负样本）

定义正负样本的函数间隔（functional margin）为：
γ = y_i(w · x_i + b)
其中y_i是第i个样本点的标签，取值为+1或-1。我们希望两个平行线之间的几何间隔（geometrical margin）最大化，即求解下面的优化问题：
maximize： γ
subject to： y_i(w · x_i + b) ≥ γ, i = 1,2,…,N

3. 转化为对偶问题
   为了解决上述约束问题，我们将其转化为对偶问题。通过拉格朗日乘子法，我们可以得到拉格朗日函数：