HDU6336 2018多校第四场(规律,矩阵前缀和)

题意

给你一个由长度为L的数组A构造的无限大矩阵M,矩阵中的数构造方式如下

int cursor = 0;
for (int i = 0; ; ++i) {
    for (int j = 0; j <= i; ++j) { 
        M[j][i - j] = A[cursor];
        cursor = (cursor + 1) % L;
    }
}

输入有T个样例,每个样例一个L,和L个数A[i](0<i<L),Q次询问,

问左上角(xL,yL)到右下角(xR,yR)这个矩形区域内所有M[i][j]的和。

题解

假设L = 7,那么M矩阵构造如下(从右上至左下以7为循环赋值)

A[0]A[1]A[3]A[6]

A[2]A[4]A[0]

A[5]A[1]

A[2]

找规律发现M[i][j] = M[i][j + 2L] = M[i + 2L][j]。所以大矩阵是由很多个以2L为边长的正方形构成的。

如何求矩阵呢,如下图一要求绿色区域的面积那么就是黑色区域面积减去两个灰色区域面积再加上一个红色区域面积。
 

四个矩形都有一个固定的求解方法calc(int n, int m)

这四个矩形都是从(0,0)到(n,m)。

先将M矩阵在2*L范围内求一个前缀和M[y][x]表示的是(0,0)到(y,x)矩形内值的总和。

下面图二是cal(n, m)的模拟计算

红色区域是 (2L * (n / L),  2L * (m / L))

绿色区域是 (n%2L, 2L*(m/2L))(2L*(n/2L), m%2L)

蓝色区域是 (n%2L, m%2L)

具体情况见代码

代码

#include<cstdio>
#include <iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include <string.h>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

typedef long long ll;
int A[10], M[100][100];
int T, L, Q;

ll calc(int n, int m)
{
    //此时L是2倍L
    if(n < 0 || m < 0) return 0;
    return 1ll*M[L-1][L-1]*(n/L)*(m/L)+ //红色
        1ll*M[n%L][L-1]*(m/L)+  //绿色
        1ll*M[L-1][m%L]*(n/L)+  //绿色
        1LL*M[n%L][m%L];         //蓝色
}
int main()
{
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d", &L);
        for(int i = 0; i < L; i++)
        {
            scanf("%d", &A[i]);
        }
        int cursor = 0;
        for (int i = 0; i < 4*L ; ++i)
        {
            for (int j = 0; j <= i; ++j)
            {
                //if (j < 2 * L && i - j < 2 * L)
                M[j][i - j] = A[cursor];
                cursor = (cursor + 1) % L;
            }
        }
        L*=2;
        for(int i = 0; i < L; i++)
            for(int j = 0; j < L; j++)
            {
                if(i) M[i][j] += M[i-1][j];
                if(j) M[i][j] += M[i][j-1];
                if(i&&j) M[i][j] -= M[i-1][j-1];
            }
        scanf("%d", &Q);
        while(Q--)
        {
            int xL, yL, xR, yR;
            scanf("%d%d%d%d", &xL, &yL, &xR, &yR);
            //图1 黑色-灰色-灰色+红色
            printf("%I64d\n", calc(xR,yR)-calc(xL-1, yR)-calc(xR,yL-1)+calc(xL-1,yL-1));
        }
    }
    return 0;
}

 

按照刚刚同样的格式整理总结一下以下内容:幻灯片1 矩阵前缀和 幻灯片2 复习: 前缀和算法  对于一个长为n的序列a = {a[1],a[2],a[3],....,a[n]}  我们可以求出a的前缀和数组s,其中s[i] = a[1]+a[2]+...+a[i]  这样当我们想要求a序列中一段区间的和时,就可以用s[r]-s[l-1]求出a[l]+a[l+1]+...+a[r]的区间和 幻灯片3 问题探究  在一个矩阵上,如果我们想要求出一个子矩阵的和,是否有类似于前缀和的方法?  提示,考虑一下如何定义矩阵上的“前缀” ? 幻灯片4 求面积 思考: 下图的大矩形S,被划分出了四个子矩形A,B,C,D  请用A,B,C,D的面积,进行四则运算,得到大矩形的面积  请用S,A,B,C的面积,通过四则运算,得到矩形D的面积 幻灯片5 启发 通过上面的例子可以想到:  当我们想要算出矩阵中某一块子矩阵的和,例如想要得到矩形D的和,可以先提前求出S,A,B,C的和(就像在一维前缀和算法中求sum[]数组一样)  再通过S-A-B+C得到D的矩阵和  要提前求出S,A,B,C这类矩形的和,就要先归纳出他们的特点。  思考: S,A,B,C这些矩形有什么共性呢? 幻灯片6 前缀矩阵 很容易发现,S、A、B、C都是以矩阵中的某个元素为右下角,以矩阵第一行第一列为左上角的  我们把这些矩阵称为前缀矩阵,在二维前缀和算法中,就是要提前求出sum[i][j]表示以第i行第j列为右下角的前缀矩阵和  下图这些子矩阵就是前缀矩阵: 幻灯片7 练一练 sum[i][j]表示以第i行第j列为右下角的前缀矩阵和  对于右侧矩阵:    求出: sum[2][3] sum[4][2] sum[3][5] 幻灯片8 预处理 想要快速求出所有的前缀矩阵和sum[i][j],就要类似一维前缀和那样找到相应的递推公式,像动态规划一样快速的求出所有的sum值  看看下面的矩阵,S = C+B-A+D ,替换成sum值和矩阵a中的元素就是: sum[i][j] = sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1] + a[i][j]      这就是矩阵前缀和的递推公式,请认真理解并记忆 幻灯片9 预处理—代码实现  读入n,m和n*m的矩阵,求出sum[][]数组,并将其输出  输入样例: 输出样例:     sum[i][j] = sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1] + a[i][j]   幻灯片10 预处理-代码实现 幻灯片11 求出子矩阵的和 看下面一个例子,如何利用sum数组求出矩形D,也就是以(4,4)为左上角、(5,6)为右下角的的子矩阵和           幻灯片12 求出子矩阵的和 看下面一个例子,如何利用sum数组求出矩形D,也就是以(4,4)为左上角、(5,6)为右下角的的子矩阵和        D = S - B - C + A = sum[5][6] - sum[5][3] - sum[3][6] + sum[3][3]   幻灯片13 求出子矩阵的和 更普遍的,如果想要求出以(a,b)为左上角,(c,d)为右下角的子矩阵和  就可以用sum[c][d]-sum[a-1][d]-sum[c][b-1]+sum[a-1][b-1]  例如右图,矩阵D中: 左上角为(4,4),右下角为(5,6)矩阵D的和为sum[5][6]-sum[3][4]-sum[4][3]+sum[3][3]   幻灯片14 例题: 1717 最大子矩阵 幻灯片15 暴力算法1 简单粗暴的处理方法是:  用双重循环枚举子矩阵左上角(a,b)的坐标  利用双重循环计算这个子矩阵的和  这样做的时间复杂度为O(n^4)  代码实现略,课后布置成作业,每位同学完成并提交后,在群里截图打卡“暴力算法1已完成”   幻灯片16 暴力算法2 简单粗暴的处理方法是:  用双重循环枚举子矩阵左上角(a,b)的坐标  利用一维前缀和,O(n)枚举子矩阵的每一行求和  这样做的时间复杂度为O(n^3)  代码实现略,课后布置成作业,每位同学完成并提交后,在群里截图打卡“暴力算法2已完成”   幻灯片17 标准解法 利用二维前缀和,我们在处理出sum[][]数组后,只要:  枚举子矩阵的左上角(a,b)的坐标,求出右下角(c = a+x-1, d = b+y-1)  利用二位前缀和直接求出子矩阵的和  sum[c][d]-sum[c][b-1]-sum[a-1][d]+sum[a-1][b-1]  幻灯片18 参考核心代码 幻灯片19 例题: 1722 星空 幻灯片20 例题: 1722 星空 幻灯片21 题解  简单分析,会发现每过c+1秒所有星星的亮度又变回来了  所以t时刻是等价于t%(c+1)时刻的  这样的话实际上只有0~c这c+1个不同的时刻  可以用sum[t][][]记录t时刻的星星亮度对应的矩阵前缀和,这样的预处理的复杂度是O(c*n*m)的,对于每次询问,只要计算出等价的0~c中的时刻,并计算矩阵和即可。 幻灯片22 例题 1724 Pond 幻灯片23 题解 二分中位数mid,将大于mid的数设为1,否则设为0  这样一个子矩阵的和就是这个子矩阵中大于mid的数的个数  枚举k*k的正方形子矩阵的右下角,并利用sum数组计算对应的矩阵和  如果找到一个子矩阵的和是≤k*k/2的,说明存在一个正方形子矩阵的中位数≤mid,就朝着小的方向二分,否则朝着大的方向二分 幻灯片24 核心代码 幻灯片25 作业  例题/中等难度题目 1717 1722 1724  较难题目 1720 1721 
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