图论基础

一、基本概念：
1. 图的分类： 有向图，无向图，混合图，赋权图，无权图
    底图： 有向图将方向去掉后得到的无向图。
    多重图：含有平行边的图（即两个节点之间有多条等价路径）。非多重图称为线图。
    简单图：无自回路的线图。 
    正则图：各个结点的次数相同，记为Kn。
    平面图：能够图示在一个平面内，边与边只在顶点出相交的图。
    完全有向图：边集为结点集的笛卡尔乘积的有向图。
    完全无向图：每两个结点间都有一条边的无向图。
2.结点的次数：
    无向图中，每个结点连接的路径数是结点的次数。
    有向图中，每个结点的引出次数叫出度，引入次数叫入度，出度与入度的和为结点的次数。
    定理：图G（n，m） 所有结点的次数之和为2m。
    推论：图G（n，m）次数为奇数的结点必为偶数个。
3.图的同构：
    概念：两个图中的结点存在一一对应关系，这种对应关系保持结点的邻接关系和边的重数。
4.图的运算：
    并，交，差，环和：分别做点集和边集的并、交、差、环和。
5.子图：
    G<V,E>
    子图：G‘的点集和边集都为G的点集和边集的子集。
    生成子图： 子图中包含原图的所有点。
    边集的导出子图：由边集唯一确定，保证没有孤立结点的子图。
    结点集的导出子图：有结点集唯一确定，保证任意两个新结点间包含原图的所有路径。(当[u，v] ∈E时有[u，v] ∈E‘ )
二、路径和回路：
1.概念：
    简单路径： 一条边不重复出现两次的路径。如果是回路则成为简单回路。
    基本路径：一个点不重复出现两次的路径。如果是回路则成为基本回路。
    路径的长度：路径中包含的边的条数。
 2.图的连通度：
    如果图中任意两结点可达，则称图是连通的。
    如果子图是连通的，且没有更大的子图是连通的，则称该子图为连通分图。简称分图。    
    定理：G（n，m）的无向简单图，w是分图个数，则：  n-w<=m<=(1/2)(n-w)(n-w+1)
    点割：无向简单图G（V，E），V’ ∈V 如果w（G-V‘）>w（G）且不存在V’的子集也满足次条件，则称 V’是G的点割，如果V‘={v}，则v是割点。
    最小点割的大小称为G的点连通度。
    割集： 无向简单图G（V，E），E' ∈E 如果w（G-E‘）>w（G）且不存在E’的子集也满足次条件，则称 V’是G的割集，如果E‘={e}，则e是桥。
    最小割集的大小称为G的连通度。 
    定理：E‘是无向简单图G的割集，则w（G-E’）=2
              无向简单图存在一个割点，当且仅当存在两个顶点u，v使两点间的任意路径都经过该点。
    在有向图中，任意两结点可达，则成G是强连通的。如果其底图是连通的，则称G的弱连通的。
3.赋权图的最短路径：
    最短路径的长度叫做距离。记为d（v1，v2）
    d（Vi，Vi）=0；
    d（Vi，Vj）=无穷大   当没有路径时；
    d（Vi，Vj）+d（Vj，Vk）>=d（Vi，Vk）； 
    dijkstra算法：
    （1）把V分成两个子集S，T，初始时，S={a}，T=V-S；
    （2）对T中每一个元素t计算D（t），  根据D（t）找出距离a最短的结点x，写出D（x）；
    （3）置S为S并{x}，置T为T-{x}，若T为空则停止，否则继续（2）；
     数学表达：D‘（t）=min{D（t），D（x）+W（x，t）}；
4.特殊图：
      1.欧拉路径和欧拉回路：
        穿程G的每一条边且仅一次的路径，称为欧拉路径。具有欧拉回路的图称为欧拉图。
        定理：无向连通图G具有一条欧拉路径当且仅当G有零个或两个奇数次数的顶点。
                   一个无向连通图是欧拉图，当且仅当该图的顶点次数都是偶数。 
                   有向连通图D是欧拉图，当且仅当该图为连通图且D中每个结点的入度等于出度 
       2.哈密尔顿路径和哈密尔顿回路：
          穿程G的每一点且仅一次的路径，称为哈密尔顿路径。具有哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿图。

         定理：G是哈密尔顿图，则对任意结点集合V的子集S有：w（G-S）<=|S|
                   G(V，E)是具有大于等于3个顶点的简单无向图，若在G中每一对顶点的次数之和大于等于n，则G中存在一条哈密尔顿回路。
三、图的矩阵表示：
    1.邻接矩阵概念： 有向线图G的邻接矩阵A=aij=1（存在<vi,vj>边），0（不存在<vi,vj>边）；
    2.意义：
    A(A^T)：从结点vi和vj引出的边，能够同时终止与的结点的个数；对角线上的元素是vi的引出次数。
    (A^T)A：从一些结点引出边，同时终止于vi和vj，这样结点的个数；对角线上的元素是vi的引入次数。
    A^n： 对于一切n，表示vi到vj长度为n的路径总数；对角线上表示经过vi的长度为n不同回路个数。
    Br=A+A^1+A^2+...+A^r：表示vi到vj长度小于等于r的不同路径总数。
     3.将Bn或Bn-1中的非零元素写成1，得到可达性矩阵。
    4.意义：P为可达性矩阵，则P交P^T可以求出强分图。
四、图的支配集，独立集和覆盖：
1.概念：
       G=<V，E>是简单无向图，V’是V的子集，若V-V‘的每一个顶点至少与V’中的一个顶点邻接，则称V‘是支配集。最小的支配集为最小支配集，其顶点个数为支配数。
      G=<V，E >是简单无向图，V’是V的子集，若V’中任意顶点不邻接，则称V‘是独立集。最大的独立集为最大独立集，其顶点个数为独立数。
       G=<V，E >是简单无向图，V’是V的子集，若G中的每一边至少有一顶点在V'中，则称V‘是点覆盖。顶点数最小的覆盖称为最小点覆盖，其顶点个数为覆盖数。（边覆盖亦然）
2.定理： 极大独立集为极小支配集。
3.匹配：不相邻的边的集合，又称边独立集。边数最多的为最大匹配，边数为匹配数。   
五、二部图：
1.概念：无向图G的点集分为两个子集，是G的每条边的端点分别由这两个集合的点组成，这样的G称为二部图。如果路径满足两个子集的笛卡尔乘积，则为完全二部图。
            如果二部图中M是图G=<X，E，Y>的一个匹配，且M使X的所有点饱和，则成M为X到Y的完全匹配。
2.定理：一个图是二部图的充分必要条件是G中所有的回路长度都是偶数。
3.二部图的最大匹配问题：
        二部图的一个匹配M，若一条基本路径有M和E-M的边交替组成，则成为交替链。（回路则为交替回路），如果交替链的起点和终点都是非饱和点（这里的非饱和，指的是该点不连接M匹配中的路径），则称这条链为可增广交替链。
        求二部图的最大匹配算法：
            （1）得出图的一个匹配M
            （2）在二部图中找一条可增广链P。（书中采用标记法，其本质为：选择一个非保和点，通过E-M与M的边交替出现到另一个非保和点，则改路径为可增广交替链）   若能找到P，则用P中不属于M的边代替原来的M。若找不到P，则M为最大匹配。
4.Konig定理：
              二部图中最大匹配数等于图的最小点覆盖数。
六、平面图和图的着色：
1.欧拉公式：对于任何平面图有：ｎ－ｍ＋ｋ＝2   n为顶点数，m为边数，k为面数。
2.定理和推论：在n>=3的任何连通平面图（n，m）中，有m<=3n-6成立 。
                        K5是非平面图。
3.平面图的对偶图的构造：
        G的对偶图 G*构造如下： 在G的每一个面Ri中放置一个顶点vi*.设e为G的一条边，若e为G的面Ri与Rj的公共边界上，则作边e*=(vi*, vj *)与e相交，且不与其他任何边相交。若e为G中的  桥 且在面Ri的边界上，则作以vi*为端点的环e*=(vi*,vj*)。右图给的示例。（注：图中黑色点即为G*=<V*，E*>其中任意的e*∈E'，都有e*有且只有一次与e相交。e∈E)。  
4.图的着色问题：
        正常（边）着色：两个相邻顶点（边）的颜色不相同。
      （边）色数：一个图G可以用k种颜色正常（边）着色，k的最小值为（边）色数。
        *定理： 色数<=1+顶点最大度数
                  顶点最大度数<=边色数<=顶点最大度数+1
                  用5种颜色可以给任意平面简单图正常着色。 
         正常着色方法：
            （1）将图中结点按照次数降序排列。
            （2）用第一种颜色对第一着色点着色，并按照顺序对不与着色点相邻的点着色。
             （3）用第二种颜色对尚未着色的点重复顺序判断着色。