cf 662C Binary Table

最新推荐文章于 2021-10-27 20:58:08 发布

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子集反演

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本文介绍了一种称为子集反演的算法，用于解决在一个01矩阵中通过行或列取反操作来最大化矩阵中1的数量的问题。该算法利用动态规划的方法，通过递推公式dp[i][j][k]来计算不同状态下的可能性，最终得出最优解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

大意：
给出一个n*m的01矩阵，你可以进行任意多次操作，每次操作可以选择一行或者一列将其取反，求最后矩阵中最多能有多少个1。

ling老师说，这叫子集反演，好像是后i位跟k异或了然后怎么样的一类题。

比如说这个就是dp[i][j][k]表示有多少个数，其低i位异或k后恰有j个1，并且高位完全与k相同。

dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k] + dp[i-1][j-1][k^(1 << i)]

因为前面跟k相同的异或出来肯定是0，跟k^(1<< i)相同的肯定是1，所以就这样转移。

统计答案的时候，如果一列可以有i个1那么也可以有n-i个1，取个min即可。

//QWsin
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=20+2;
const int maxm=100000+10;
const int maxS=(1<<21)+10;

int dp[maxn][maxS];
char s[maxn][maxm];

int n,m;
inline int getnum(int pos)
{
    int ret=0;
    for(int i=n;i>=1;--i) ret=ret*2+s[i][pos]-'0';
    return ret;
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%s",s[i]+1);

    for(int i=1;i<=m;++i) ++dp[0][getnum(i)];
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=i;j>=1;--j)
            for(int k=0;k<1<<n;++k)
                dp[j][k]+=dp[j-1][k^(1<<(i-1))];

    int ans=n*m;
    for(int k=0;k<1<<n;++k)
    {
        int cnt=0;
        for(int i=1;i<n;++i) cnt+=dp[i][k]*min(i,n-i);
        ans=min(cnt,ans);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}