Java版高级数据结构算法 - 回溯算法之子集树（解决常见面试问题）

知识的学习在于点滴记录，坚持不懈；知识的学习要有深度和广度，不能只流于表面，坐井观天；知识要善于总结，不仅能够理解，更知道如何表达！

子集树

解空间就是问题所有解的可能取值构成的空间，一个问题的解往往包含了得到这个解的每一步，就是对应解空间树中一条从根节点到叶子节点的路径。

子集树就代表了一类问题的解空间，它并不是真实存在的数据结构，也就是说并不是真的有一颗这样的树，只是抽象出来的解的空间树。

当问题求解的结果是集合S的某一子集的时候，其对应的解空间就是一颗子集树，时间复杂度是$O(2^n)$，看下面的这段代码：

@Test
public void test01(){
   
   
    int[] arr = {
   
   1,2,3};
    backstrace01(arr, 0, arr.length);
}

private void backstrace01(int[] arr, int i, int length) {
   
   
    if(i == length){
   
   
        System.out.println("hello world!");
    } else {
   
   
        backstrace01(arr, i+1, length);
        backstrace01(arr, i+1, length);
    }
}

上面的代码运行以后，会输出多少次hello world！呢？上面的backstrace01函数的递归调用就是一个二叉树的遍历过程，如果给节点的左树枝标识1，右树枝标识0，那么这颗树就称作子集树，看下面的代码和图示：

@Test
public void test01(){
   
   
    int[] arr = {
   
   1,2,3};
    int[] brr = new int[arr.length];
    backstrace02(arr, brr, 0, arr.length);
}

private void backstrace02(int[] arr, int[] brr, int i, int length) {
   
   
    if(i == length){
   
   
        for (int j=0; j<length; ++j){
   
   
            if(brr[j] == 1){
   
   
                System.out.print(arr[j] + " ");
            }
        }
        System.out.println();
    } else {
   
   
        brr[i] = 1;
        backstrace02(arr, brr, i+1, length);
        brr[i] = 0;
        backstrace02(arr, brr, i+1, length);
    }
}

上面代码中用brr做了辅助数组，来记录遍历过程中，是遍历子集树节点的左孩子还是右孩子，如图：

运行上面的代码，可以看出来，打印出来了序列{1，2，3}的所有的子集情况，也就是从根节点到某一个叶子节点的路径就代表了问题的一个解，可以根据上面的图梳理出所有子集结果。

一组整数序列，选择其中的一部分整数，让选择的整数和序列中剩下的整数的和的差值最小

这个问题是笔试面试中经常出现的，是典型的求子集的问题，可以用子集树完美解决，代码如下：

// 原始的整形数组序列
static int[] arr = {
   
   12,32,8,15,26,7,6,258};
// 定义一个获取子集的辅助数组
static int[] brr = new int[arr.length];
// 存储到目前位置，最合适的子集数组
static int[] bestx = new int[arr.length];
// 记录剩下的整数的和
static int r = 0;
// 记录已选择的整数的和
static int cv = 0;
static int min = Integer.MAX_VALUE;

public static void main(String[] args) {
   
   

    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
   
   
        r += arr[i];
    }
    backstrace(arr, brr, 0, arr.length);

    System.out.println(