机器学习笔记 - 支持向量机的数学原理与实现

支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种强大的监督学习算法，常被用于分类和回归问题。它的数学原理相对复杂，但是理解它的数学背后的原理对于掌握和应用SVM至关重要。本文将详细介绍支持向量机的数学原理，并提供相应的Python源代码实现。

1. 线性分类
   支持向量机的目标是找到一个超平面，将数据点分成不同的类别。对于线性可分的情况，存在着无数个超平面可以完美地区分数据点。支持向量机的关键是选择一个最优的超平面，使得其离最近的数据点的距离最大化。这些最近的数据点被称为支持向量。

2. 数学原理
   支持向量机的数学原理主要涉及到优化问题和核函数的概念。

2.1 优化问题
我们的目标是找到一个超平面，能够最大化支持向量与超平面的距离。这个距离被称为间隔（margin），我们希望最大化这个间隔。将超平面表示为wx + b = 0，其中x是输入样本，w是法向量，b是偏置项。对于一个给定的训练样本(xi, yi)，yi∈{-1, 1}，我们有以下约束条件：
yi(wx_i + b) ≥ 1

我们的目标是最小化w和b，同时满足以上约束条件。这就转化为一个凸二次优化问题，可以使用拉格朗日乘子法求解。

2.2 核函数
在现实世界的问题中，数据常常不是线性可分的。为了解决这个问题，我们引入了核函数的概念。核函数能够将数据从原始空间映射到高维特征空间，使得数据在高维空间中线性可分。常用的核函数有线性核、多项式核、高斯核等。

3. Python实现
   下面是使用Python实现支持向量机分类器的示例代码：