Python 手写线性回归算法竟如此简单

摘要：通俗易懂介绍线性回归算法，并 Python 手写实现。

之前我们介绍了：kNN 算法，主要用于解决分类问题，也可以解决回归问题，它有很多优缺点，其中一个缺点是模型结果不具有可解释性，而很多时候我们是希望得到的模型是能够作出合理解释的，以便指导业务。今天要介绍的线性回归（Linear Regression）模型就是一个很好的可解释模型。\

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比如建立了一个关于房价和房屋面积的线性回归模型：y（房价）= 15000*x（房屋面积）+ 100

就可以解释成：房屋面积每增加一平米，房价就会增加 15,000 元。

除了这个优点以外，线性回归还有一个重要的优点是它是很多机器学习算法的基础，比如之后会介绍的多项式回归、逻辑回归、svm。通常在建立复杂的模型前都会先尝试一下线性回归模型，所以很有必要学好它。

相比与 kNN 模型，我们更熟悉线性回归，因为它和初中学过的一元函数 y = k*x + b很像，算法思想也比较简单，仅多了一点数学公式推导。

下面依然通过一个小场景切入该算法：

01 场景代入

小花是一家房屋中介销售员，一天有个客户打电话过来说，想卖掉自己一套 80 平米的房子，问小花这边能报价多少。小花说稍后给客户报价，放下电话后赶紧查看过往房屋销售记录，想从中找个参考价格，但发现此前并没有接手过 80 平米的房子，便一下犯了难不知道报多少合适：报高了自己吃亏，报少了客户可能去别家。

作为小花的同事，你把一切看在眼里，善解人意地问她是否需要帮忙，她如找到救星一般，一边点头一边抓住你的手，拜托你给她个参考价出来。你不慌不忙拿出纸笔，一顿狂算后给了小花一个答案：125 万，在这个基准价上可以再适当调整。

小花告诉了客户后很顺利地拿下这一单。走到你跟前抛来崇拜的眼神，说下班要请你吃饭，你口头忙说不用客气心里却万马奔腾。下了班小花带你去了一家她和闺蜜常去的店，还专门点了瓶红酒。喝到微醺恍惚之时，你发觉不知什么时候小花坐到了你身边，你面红耳赤小心脏扑通直跳，不敢想接下来会发生什么，只好装懵闭上了眼睛。只感觉小花越来越近，近到快贴到耳根边，感觉要发生点什么的时候，听到她飘来一句：那个房自你为什么确定报价 125 万？

你睁开眼发现小花坐在对面认真地在等你的回答，才发觉刚才是自己在 YY，只好抛出一句自己的口头禅来化解尴尬：无他，唯机器学习熟尔。

段子编完了。。。

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02 线性回归解释

下面我们就用线性回归来解决为什么 80 平米的房报价 125 万这个问题。分为两步：抽象出线性回归模型，接着 Python 手写代码预测结果。

由于小花手上只有一组少量的房屋成交记录，这组记录由房屋面积和报价两列数据组成（为了建模而作的简单假设），因此，我们可以将其绘制到坐标轴中（横轴是房屋面积，纵轴是房价），如下面红点所示：

 

 

 

 

 

现在，需要根据这组数据去给客户 80 平米的房子预测出一个合理价格。显然，仅凭这几个散点找不到任何规律，房价可以假设成很多值：

 

 

 

 

 

不过，我们看到房价和房屋面积呈现一定的线性关系，于是自然地想到是否可以画出一条直线，能够最大化地拟合住所有红色样本点。这条直线能够代表样本的总体规律，从而可以建立一个线性方程：y = ax + b，将 x = 80 代入该方程就可以得到最合适的房价：

 

 

 

 

 

不过新的问题来了，如何确定这条直线就能够最大化拟合红色样本点？因为可以画出很多这样的直线：

 

 

 

 

 

可以这样来想：图中每个样本都有预测房价和实际房价，且每条直线的预测房价不尽相同，那么可以使用这一个方法来判断直线拟合程度的好坏：

计算各直线上全部样本点的实际房价和预测房价的差值，求出它们的总和，对比哪条直线的总和最小，就认为该条直线拟合效果最好。

不过差值有正有负，为了避免相互抵消，可以换成计算差值的平方和：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

这个平方和计算公式也叫损失函数（loss function），损失的意思就是指没有拟合到真实值的部分。

另外，这里的未知数不再是 x 和 y （x y 都是已知样本值）而是斜率 a 和 截距 b，相当于是关于 a 和 b 的二次方程。我们知道它是一条抛物线，有最小值。

所以，我们的目的从找到一条最大化拟合住所有红色样本点的直线，转变成找到一条损失函数值最小的直线 。

寻找这条直线显然不能靠手动划线去找，因为穷举不完。可以换个思路：求出该损失函数的最小值，反解出未知数 a 和 b，就可以找到这条直线。

如何求该函数的最小值呢？这就可以用到中学学过的函数求导来解决，让导函数等于 0 就能找到函数最小值。

到这儿，我们的找直线问题最终变成了数学求导。

求导不难高中数学知识就够，下面来一步步写下：

03 线性回归公式推导

为了方便求导，令该损失函数等于 J(a，b)，分别对 a 和 b 求偏导，令其等于 0 求解 a 和 b 的值：

 

 

 

 

 

b 的形式简单些，所以先对 b 求导：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

很容易就能求出 b 的值：y 的均值减去 a 乘以 x 的均值：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

由于，我们已有全部样本点的 x 和 y 值，所以均值很容易计算，只需要求出 a。

下面来推导 a ，会稍微复杂点：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

把 b 代入：

 

 

 

 

 

分别乘入 x^{(i)}：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

将 a 整理合并：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

最后就能求出 a：

 

 

 

 

 

不过该公式略复杂，还可以进一步整理让 a 跟 x 和 y 的均值产生联系。对分子第二项做变换：

 

 

 

 

 

变换后，发现 x 和 y 对调后上式也成立，接着再从另一个角度变换：

 

 

 

 

 

这样就可以对 a 的表达式做替换，分子和分母都加一项再减去相等的一项（等于没加没减）：

 

 

 

 

 

凑成这样的形式是为了变换：分子可以合并因式分解项，分母可以写成完全平方公式：

 

 

 

 

 

到这里， a 和 b 的计算公式就都和 x 和 y 的均值产生联系，很容易能求出来：

 

 

 

 

 

数学公式推导出来后，简单的几行 Python 代码就可以计算出 a 和 b，有了 a 和 b 就能解出直线 y 的表达式，从而绘制出前面的最佳拟合直线。

04 Python 手写线性回归

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

可以看到，数学是编程的基础很重要，如果觉得推导过程难可以不用管它，只需记住 a 和 b 的表达式就可以编程实现。

到这儿我们介绍了线性回归算法，并用简单的 Python 代码实现了它，解决了房价为什么是 125 万的问题。

进一步地我们还可以像调用 sklearn 库一样，把这些代码封装成一个名为 SimpleLinearRegression 的库方便快速调用：

 

 

 

 

 

上面这些代码是模仿 sklearn 底层编写的，写好后在 jupyter notebook 中就可以调用该类方法：

 

 

 

 

 

可以看到我们得到了一样的 a 和 b 以及房价，初步完整地实现了线性回归算法代码。

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不过发现了一个问题就是前面在计算斜率 a 的值时，使用了 for 循环这种低效率计算方法，当数据量很大时算法运行会变慢。

那么有什么优化方法么？有的，就是使用：向量化运算，它可以将算法运行效率提升一到两个数量级。

下面具体介绍下如何使用向量化运算改进，只需要两行代码。

05 向量化加速线性回归运算

我们换个角度来看上面的斜率 a 计算公式，可以把 a 的分子和分母都看成是两个向量 w v 的每一个元素相乘再相加 ：

 

 

 

 

 

即分子分母都看成是这样的形式：

 

 

 

 

 

这里的 w 和 v 向量都有 m 个元素：

 

 

 

 

 

其实向量相乘再相加，就是向量的点积公式即：

 

 

 

 

 

这样就可以不用 for 循环而直接用 numpy 的向量点积公式 np.dot 计算分子分母的值：

# np.dot 向量化计算分子分母 
num = (x-x_mean).dot(y-y_mean)
dom = (x-x_mean).dot(x-x_mean)

进而求出 a 和 b：

 

 

 

 

 

可以看到，a 和 b 的值和 for 循环结果相同，两行代码就解决了。

刚才说当数据量很大时，for 循环计算效率很低，而向量化运算则会快很多，由于我们例举的数据集很小所以体现不出二者性能区别。下面重新生成一个 100 万的大数据集测试一下：

 

 

 

 

 

上面模拟生成了一个在 y = 3*x + 1 直线附近的数据集，首先使用 for 循环拟合（lr.fit），程序平均运行时间在 1.41s，接着使用向量化拟合（lr.fit2），平均运行时间只有 24.2 ms，二者相差了 50 倍！性能差距很大。

所以，线性回归算法实现时尽量使用向量化运算这种方式。

06 调用 sklearn 线性回归算法

最后，我们来熟悉使用下 sklearn 中的线性回归算法，只需要 5 行代码：

from sklearn.linear_model import LinearRegression 
lr = LinearRegression()
lr.fit(x,y)
x_predict = np.array([55, 80])
y_predict = lr.predict(x_predict)
# [out]:
    array([[ 76.94915254],
             [124.40677966]])

从 sklearn 的 linear_model 方法中调用线性回归库 LinearRegression，实例化之后在训练集(x,y)上 fit 拟合，然后在预测集上 (x_predict) 预测得到 y 值（预测房价），结果和我们刚才手写的一样。

sklearn 库调用起来很简单，但是只有自己动手去写一遍才能更深刻理解该算法。

以上就是线性回归算法的第一篇文章，算法介绍完了我们还需要知道如何评价其效果好坏，下一篇文章将介绍线性回归的几个评价指标。