dp(动态规划)之最长公共子序列-优快云博客

今天分享一道比较典型的dp问题：
问题描述：

我们有两个字符串m和n，如果它们的子串a和b内容相同，则称a和b是m和n的公共子序列。子串中的字符不一定在原字符串中连续。
例如字符串“abcfbc”和“abfcab”，其中“abc”同时出现在两个字符串中，因此“abc”是它们的公共子序列。此外，“ab”、“af”等都是它们的字串。
现在给你两个任意字符串（不包含空格），请帮忙计算它们的最长公共子序列的长度。

来源链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/9ae56e5bdf4f480387df781671db5172
来源：牛客网

解题思想：首先这道题用常规思维来想，很容易让人思考越陷越深，因为两个字符串的比较情况太多了，这道题我拿到的第一反应就是要拿dp解决，首先dp最难的就是要找到他的初始已知条件和dp递推公式，这道题呢用dp状态矩阵来解决，首先dp状态矩阵就表示的是两个字符串各个位的最长公共子序列长度。
针对题里的输入的例子的图例如下：
在这里插入图片描述
首先初始条件可以是dp [0] [0] ，看两个字符串下标都为0时的字符是否是相等的，如果相等的话，则dp[0][0]为1，否则为0 ；接下来要处理的就是两个边界特殊情况比如i=0,j为任意这时处于矩阵的最上面一行，这时dp[0][j]就只会是他前面的一个状态dp[0][j-1]的结果以及他自身dp[0][j]的结果(自身的这个dp[0][j]可以要看此时的s1[0]和s2[j]是否相等，相等则为1，否则为0)有关；令一种情况i为任意，j=0的情况同上；这两个边界情况处理完后，就是一般情况了dp[i][j] = max（dp[i-1][j]，dp[i][j-1]）,因为此时这两种情况都可以到dp[i][j]，所以要取最大的一个，中间当然也会出现s1[i]=s2[j]的情况，这时就是dp[i-1][j-1]+1和dp[i][j]本身之间取最大值，因为如果此时s1[i]=s2[j]的话则dp[i-1][j-1]（s1的i和s2的j同时-1之后的dp状态）加上一个字符的话就是dp[i][j]，所以此时dp[i][j]=max(dp[i-1][j-1]+1,dp[i][j])。

在思考这个问题的时候i，j就s1和s2的下标！！！
全程需要注意数组下标不要越界！！！

实现代码：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;

int main()
{
	string s1, s2;
	while (cin >> s1 >> s2){
		int len1 = s1.size();
		int len2 = s2.size();
		vector<vector<int>> dp(len1, vector<int>(len2, 0));
		dp[0][0] = (s1[0] == s2[0]) ? 1 : 0;  //初始已知条件
		for (int i = 1; i < len1; i++){       //特殊上边界
			dp[i][0] = (s1[i] == s2[0]) ? 1 : 0;
			dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i][0]);
		}
		for (int j = 1; j < len2; j++){      //特殊左边界
			dp[0][j] = (s1[0] == s2[j]) ? 1 : 0;
			dp[0][j] = max(dp[0][j - 1], dp[0][j]);
		}
		for (int i = 1; i < len1; i++){      //一般情况
			for (int j = 1; j < len2; j++){
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]);
				if (s1[i] == s2[j])
					dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] + 1);
			}
		}
		cout << dp[len1 - 1][len2 - 1] << endl;   //返回当然是dp[len1-1][len2-1],注意下标一定不要越界
	}
	return 0;
}