多模型算法理论推导过程_多模型估计-优快云博客

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多模型估计方法概述

第一次用markdown写东西，先试试水

由于目标机动状态或者系统模式不确定，用单个模型往往不足以描述目标运动。一种更为合理和强大的描述方法为混杂系统表述，包括两个部分：一个连续变化的状态成员和一个系统模式成员。系统模式指的是一个真实世界的行为模式或系统结构，对于真实的系统，其准确的行为模式无法获得，只能通过建立系统模型来逼近，即模型可以理解为在数学上对系统行为的描述。
一个典型的混杂系统可表述为
$xk=Fkjxk−1+Gkjuk−1j+ωk−1jzk=Hkjxk+νkj{{x_k} = F_k^j{x_{k - 1}} + G_k^ju_{k - 1}^j + \omega _{k - 1}^j}\\ {{z_k} = H_k^j{x_k} + \nu _k^j}$

式中，k为时间索引；x为状态向量；z为量测向量； $\in \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}$ 表示模型j，n为混杂系统包含的模型总数；为过程噪声； $ω\omega$ 为量测噪声； F 为状态转移矩阵；G为输入增益矩阵；H为量测矩阵。总体上，F、G、u、H、 $ω\omega$ 、v均依赖于模型j。 $ωk−1j\omega _{k - 1}^j$ 和 $νkj\nu _k^j$ 也假设为互不相关的零均值高斯分布随机变量，并且分别具有协方差矩阵 $Q_{k - 1}^j$ 和 $R_k^j$ 。

对于这样的混杂系统，传统的方法按照“决策——估计”模式，即先根据状态“决策”选用哪种模型，进而通过模型运算出状态的估计，也可以采用步进方法，即“决策——估计——决策——估计……”，这种方式实际等价于一种退化的多模型估计方法。

为避免由于真实模式的不确定性在传统处理方法中的问题，多模型方法在同一时刻采用多个模型同时进行运算并判断所得出的多个估计状态的匹配性，流程简述如下：

假设所有模型均与真实模式匹配；
运行模型，得出估计结果；
根据多个结果融合处最终的状态估计。

从最优化理论的角度来说，多模型方法具有得到全局最优解的能力。

多模型算法

多模型算法建立两个或两个以上模型用于描述机动模型运动过程，并给每一个模型建立一个滤波器，滤波器按照一定的准则在模型间进行转换，或者是根据它们的似然函数，计算每一个模型是正确的概率，然后加权求和。
令 $Mj(j=1,2,…N){M_j}\left( {j = 1,2, \ldots N} \right)$ 为过程的描述模型， $Pr{Mj}=μj(k){P_r}\left\{ {{M_j}} \right\} = {\mu _j}\left( k \right)$ 表示k时刻模型j能够正确描述过程的概率，假设模型j是0-k时刻过程的正确描述，则k时刻量测的似然函数（概率分布） $Pr{Zk∣Mj}{P_r}\left\{ {{Z_k}|{M_j}} \right\}$ 满足如下表达式

$Pr{Zk∣Mj}=Pr{zk∣Zk−1,Mj}Pr{Zk−1∣Mj}{P_r}\left\{ {{Z_k}|{M_j}} \right\} = {P_r}\left\{ {{z_k}|{Z_{k - 1}},{M_j}} \right\}{P_r}\left\{ {{Z_{k - 1}}|{M_j}} \right\}$

假设k时刻的量测与1~k-1时刻量测无关则有

$Pr{Zk∣Mj}=Pr{zk∣Mj}Pr{Zk−1∣Mj}{P_r}\left\{ {{Z_k}|{M_j}} \right\} = {P_r}\left\{ {{z_k}|{M_j}} \right\}{P_r}\left\{ {{Z_{k - 1}}|{M_j}} \right\}$
继续展开可得

$Pr{zi∣Mj}{P_r}\left\{ {{Z_k}|{M_j}} \right\} =\prod_{i = 1}^{k}\ {P_r}\left\{ {{z_i}|{M_j}} \right\}$

式中 $Pr{zi∣Mj}{P_r}\left\{ {{z_i}|{M_j}} \right\}$ 为i时刻在正确模型为j情况下量测的似然函数，因此有

${P_r}\left\{ {{Z_k}|{M_j}} \right\} = \prod \limits_{i = 1}^k {\left| {2\pi {S_j}\left( i \right)} \right|^{ - \frac{1}{2}}}\exp \left\{ { - \frac{1}{2}v_j^T\left( i \right)S_j^{ - 1}\left( i \right){v_j}\left( i \right)} \right\}$

若不考虑历史似然函数值得积累，则 $Pr{Zk∣Mj}{P_r}\left\{ {{Z_k}|{M_j}} \right\}$ 也可表示为

${P_r}\left\{ {{Z_k}|{M_j}} \right\} = {\left| {2\pi {S_j}\left( k \right)} \right|^{ - \frac{1}{2}}}\exp \left\{ { - \frac{1}{2}v_j^T\left( k \right)S_j^{ - 1}\left( k \right){v_j}\left( k \right)} \right\}$

使用贝叶斯法则，k时刻模型j正确的概率是

${P_r}\left\{ {{M_j}|{Z_k}} \right\} = \frac{{{P_r}\left\{ {{Z_k}|{M_j}} \right\}{P_r}\left\{ {{M_j}} \right\}}}{{\sum\limits_{i = 1}^N {{P_r}\left\{ {{Z_k}|{M_i}} \right\}{P_r}\left\{ {{M_i}} \right\}} }}$

其中N为多模型总数，用上述概率加权可得加权状态估计为

$X^(k∣k)=E{X(k)∣Zk}=∑j=1NE{X(k)∣Mj,Zk}Pr{Mj∣Zk} \hat X\left( {k|k} \right) = E\left\{ {X\left( k \right)|{Z_k}} \right\} = \sum\limits_{j = 1}^N {E\left\{ {X\left( k \right)|{M_j},{Z_k}} \right\}{P_r}\left\{ {{M_j}|{Z_k}} \right\}}$

式中第一项 $E{X(k)∣Mj,Zk}E\left\{ {X\left( k \right)|{M_j},{Z_k}} \right\}$ 表示模型j的后验估计值 $X^j(k∣k){\hat X_j}\left( {k|k} \right)$ ， $Pr{Mj∣Zk}{P_r}\left\{ {{M_j}|{Z_k}} \right\}$ 部分参考资料中记为 $μj(k)\mu _j^{}\left( k \right)$ ，为直观理解，此处不用代号表示。

模型估计方差为

$\begin{array}{l} P\left( {k|k} \right) = \sum\limits_{j = 1}^N {{P_r}\left\{ {{M_j}|{Z_k}} \right\}{P_j}\left( {k|k} \right)} + \ldots \\ \sum\limits_{j = 1}^N {{P_r}\left\{ {{M_j}|{Z_k}} \right\}\left[ {E\left\{ {X\left( k \right)|{M_j},{Z_k}} \right\} - E\left\{ {X\left( k \right)|{Z_k}} \right\}} \right]{{\left[ {E\left\{ {X\left( k \right)|{M_j},{Z_k}} \right\} - E\left\{ {X\left( k \right)|{Z_k}} \right\}} \right]}^T}} \end{array}$