寻找质数 II

Python代码:计算并输出指定范围内的最大b个质数
该篇文章介绍了如何使用Python编写一个函数来找出小于给定整数a的b个最大质数,如果符合条件的质数不足,则输出已找到的质数或null。
题目描述

输入两个整数 ab,计算并输出小于 ab个质数,所有符合条件的质数里,输出最大的 b 个质数,按照从大到小输出,使用空格隔开。

假如符合条件的数量不够,则输出已经满足的质数。 如果数量为 0,输出 null

输入格式

两个整数,用空格隔开。

输出格式

一行整数,用空格隔开,最后一个整数附带空格。

输入输出样例
输入1

10 5

输出1

7 5 3 2

输入2

40 3

输出2

37 31 29

输入3

2 2

输出3

null

python解:

def zhi(num):
    if num==2:
        return True
    elif num%2==0:
        return False
    else:
        for i in range(3,num,2):
            if num%i==0:
                return False
        else:
            return True
        
a,b=map(int,input().split())
ls=[]

for num in range(a-1,1,-1):
    if len(ls)==b:
        break
    else:
        if zhi(num):
            ls.append(num)
            
if not ls:
    print("null")
else:
    for num in ls:
        print(num,end=" ")

 

<think>我们正在讨论寻找素数的方法和技术。根据引用内容,我们可以总结几种常见的寻找素数的方法: 1. 埃拉托斯特尼筛法(Sieve of Eratosthenes):通过标记素数的倍数来筛选素数。 2. 试除法(Trial Division):对于每个待检测的数,用小于等于它的平方根的所有素数去除它。 3. 优化的试除法:只用小于等于sqrt(n)的奇数去试除,或者跳过一些明显不是素数的数(比如偶数)。 4. 哥德巴赫猜想相关:寻找一个偶数的两个素数对,且这两个素数尽可能接近。 在引用中,我们看到了这些方法的代码实现(Java)和描述。 因此,我们可以按照以下结构组织回答: 一、埃拉托斯特尼筛法(重点,引用[1]和[2]都提到了筛法) 二、试除法(引用[3]提到了试除法和优化) 三、其他方法(如哥德巴赫猜想中寻找素数对,引用[4]) 最后,我们可以生成几个相关问题。 注意:在回答中,我们需要适当地引用给出的引用编号。 由于用户要求使用中文,且数学公式用LaTeX表示,我们在解释算法时可能需要一些数学公式(比如算法复杂度)。 现在开始详细回答: </think>### 寻找素数的算法与技术 素数在密码学、数论和计算机科学中有重要应用。以下是核心算法及技术实现(附代码示例),基于引用内容优化: #### 一、埃拉托斯特尼筛法(Sieve of Eratosthenes) **原理**:标记素数的倍数,时间复杂度 $O(n \log \log n)$ ```java // 引用[1][2]优化版:仅处理奇数,空间节省50% public static int[] primes(int n) { if (n <= 1) return new int[0]; int len = (n % 2 == 1) ? (n/2) + 1 : n/2; boolean[] isComposite = new boolean[len + 1]; // 标记非素数 for (int k = 3; k*k <= n; k += 2) { if (!isComposite[(k+1)/2]) { for (int j = (k*k+1)/2; j <= len; j += k) { isComposite[j] = true; // 标记k的倍数 } } } // 收集素数 int count = 0; for (int i = 1; i <= len; i++) { if (!isComposite[i]) count++; } int[] primes = new int[count]; primes[0] = 2; int idx = 1; for (int i = 2; i <= len; i++) { if (!isComposite[i]) primes[idx++] = i*2 - 1; // 奇数转回素数 } return primes; } ``` **优点**:适合批量生成小范围素数($n \leq 10^7$),空间效率高[^1][^2]。 --- #### 二、试除法(Trial Division) **原理**:用 $\leq \sqrt{n}$ 的素数试除,时间复杂度 $O(\sqrt{n})$ ```java // 引用[3]优化:仅用奇因子试除 boolean isPrime(int n) { if (n < 2) return false; if (n == 2) return true; if (n % 2 == 0) return false; for (int i = 3; i*i <= n; i += 2) { // 跳过偶数 if (n % i == 0) return false; } return true; } ``` **适用场景**:单个数检测($n \leq 10^{12}$),Miller-Rabin素性测试的基础[^3]。 --- #### 三、哥德巴赫素数对搜索 **问题**:给定偶数 $M$,找最接近的素数对 $(p,q)$ 满足 $p+q=M$ **算法**: 1. 用筛法生成 $[2, M/2]$ 的素数集合 2. 从 $p = \lfloor M/2 \rfloor$ 开始递减检测 3. 若 $p$ 和 $M-p$ 均为素数,即为解 ```java // 引用[4]实现框架 void findPrimePair(int M) { int[] primes = primes(M); // 使用筛法预生成素数 for (int p = M/2; p >= 2; p--) { if (isPrime(p) && isPrime(M-p)) { // 试除法补充检测 System.out.println(p + " " + (M-p)); return; } } } ``` **示例**:$M=20 \to 7+13$,$M=30 \to 13+17$[^4] --- ### 性能对比 | 算法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 适用场景 | |-----------------|------------------|--------------|------------------------| | 埃拉托斯特尼筛法 | $O(n \log \log n)$ | $O(n)$ | 批量生成小范围素数 | | 试除法 | $O(\sqrt{n})$ | $O(1)$ | 单个大数检测 | | 素数对搜索 | $O(n \log n)$ | $O(n)$ | 哥德巴赫猜想验证 | --- ### 进阶技术 1. **分段筛法**:处理 $n > 10^8$ 的大范围,分块筛避免内存溢出 2. **Miller-Rabin 算法**:概率性检测超大素数($n > 10^{100}$),用于密码学 3. **AKS 算法**:首个多项式时间的确定性素性检测,理论价值高 ```python # Miller-Rabin 示例(Python) import random def is_prime(n, k=5): if n < 2: return False for p in [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29]: if n % p == 0: return n == p s, d = 0, n-1 while d % 2 == 0: s, d = s+1, d//2 for _ in range(k): x = pow(random.randint(2,n-1), d, n) if x == 1 or x == n-1: continue for _ in range(s-1): x = (x*x) % n if x == n-1: break else: return False return True ```
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