4.2 直方图均衡化

提示：文章写完后，目录可以自动生成，如何生成可参考右边的帮助文档

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前言

上一章我们简单介绍了一下什么是直方图，并且举例说明了一下不同特点的图像的直方图有什么不同，这一章我们讨论直方图均衡化。

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1. 直方图均衡化原理

直方图均衡化依旧属于图像变换，也就是输入一个图像，经过变换，输出另一个图像，既然是图像变换，那么实际作用到的依旧是图像的像素，那么图像变换的函数公式依旧可以表示如下：$$g(x,y)=F(f(x,y))f(x,y)是位于图像点(x,y)处的像素的值$$那么问题的重点就来到了如何确定 $F$

1.1 直方图均衡化理论基础

上一章我们介绍了下面两个公式
$$\begin{array}{rl}h(k)& =n_{k}k=0,1,2,3,...L-1\\ p(k)& =\frac{h(k)}{M\ast N}=\frac{n_k}{M\ast N}\\ & \\ n_k& ：像素值为k的像素的个数\\ p(k)& ：像素值为k的像素的频率(概率)\end{array}$$
那么直方图均衡化究竟要做什么呢？将一个图像（输入图像）变换成另一个图像，我们先假设已经变换成功，也就是说已经输出了一个图像，那么输出图像有什么特点呢？输出图像的特点就是图像的概率密度比较均衡，也就是输出图像的直方图比较均衡。

上图中，左边是输入图像概率密度，右边是我们期望的输出图像的概率密度。

理论公式推导

• 假设 $r$为归一化之后的输入图像灰度, $s$ 为输出图像的灰度，即：$r,s\in [0,1]$
• 由概率论的知识可知，某随机变量的概率分布函数等于其概率密度的函数的积分，即：$$F(x)={\int }_{\infty }^{x}f(t)\mathrm{d}t$$
• 若随机变量 $r$ 的概率密度函数为 $p(r)$，且随机变量 $s$ 为 $r$的函数，则必有：$${\int }_0^{b}p(s)\mathrm{d}s={\int }_0^{a}p(r)\mathrm{d}r$$对两边求导可得：$$p(s)=\frac{p(r)dr}{ds}$$
• 有上面得知，我们要的输出图像的概率密度需要均衡，因此我们令 $p(s)$，则可以得：$$p(r)=\frac{ds}{dr}，即ds=p(r)dr$$两边对 $r$ 积分，上式可变为：$$s={\int }_0^{x}p(r)\mathrm{d}r，其中x为输入灰度级，x\in [0,1]$$上式就是图像均衡化的变换公式。

1.2 直方图均衡化手工实现

了解直方图均衡化理论基础之后，我们以一个简单的例子来手工计算均衡化后的图像。图像如下图所示，灰度级是$(0,9)$：

计算过程如下：

第一步：统计原图像的 $n_k$，可以得到 ： $$n_k=[7,9,8,10,15,7,9,18,7,10]，k=0,1,2,3,...,9$$
第二步：原图像的个数 $N=10\ast 10=100$
第三步：计算原始图像的频率 ： $$p_r(k)=\frac{n_k}{N}=[\frac{7}{100},\frac{9}{100},\frac{8}{100},\frac{10}{100},\frac{15}{100},\frac{7}{100},\frac{9}{100},\frac{18}{100},\frac{7}{100},\frac{10}{100}]，k=0,1,2,3,...,9$$
第四步：计算原始图像的累计分布频率 ：$$s(k)=\sum _{i=0}^k\frac{n_i}{N}=[\frac{7}{100},\frac{16}{100},\frac{24}{100},\frac{34}{100},\frac{49}{100},\frac{56}{100},\frac{65}{100},\frac{83}{100},\frac{90}{100},\frac{100}{100}]，k=0,1,2,3,...,9$$
第五步：将归一化的 $s_k$ 乘以 $L-1$再四舍五入，以使得均衡化后图像的灰度级与归一化前的原始图像一致。

• $s_0=\frac{7}{100}\ast (L-1)=\frac{7}{100}\ast 9=1$
• $s_1=\frac{16}{100}\ast (L-1)=\frac{16}{100}\ast 9=1$
• $s_2=\frac{24}{100}\ast (L-1)=\frac{24}{100}\ast 9=2$
• $s_3=\frac{34}{100}\ast (L-1)=\frac{34}{100}\ast 9=3$
• $s_4=\frac{49}{100}\ast (L-1)=\frac{49}{100}\ast 9=4$
• $s_5=\frac{56}{100}\ast (L-1)=\frac{56}{100}\ast 9=5$
• $s_6=\frac{65}{100}\ast (L-1)=\frac{65}{100}\ast 9=6$
• $s_7=\frac{83}{100}\ast (L-1)=\frac{83}{100}\ast 9=7$
• $s_8=\frac{90}{100}\ast (L-1)=\frac{90}{100}\ast 9=8$
• $s_9=\frac{100}{100}\ast (L-1)=\frac{100}{100}\ast 9=9$

根据以上映射关系，映射后的图像如下

有点尴尬，变换前后区别不大(只是将0变换为1)，但是计算过程没有问题

2. 示例

2.1 示例一（自己计算）

2.1.1 示例代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import cv2 as cv


def getImagePdf(img):
    """
    获取图像的概率密度
    :param img: 输入图像
    :return: 返回图像的概率密度
    """
    # 计算图像的直方图
    hist = cv.calcHist([img], [0], None, [256], [0, 256])

    # 将直方图归一化为概率密度
    pdf = hist / np.sum(hist)

    # 将pdf转化为一维数组
    pdf = pdf.flatten()

    return pdf


def getHETrans(pdf):
    """
    计算直方图均衡化的映射方式（即变换函数），也就是输入图像的像素值会被映射到哪个像素值
    :param pdf:输入图像的概率密度
    :return:
    """
    dst = np.zeros(256)
    cdf = 0  # 累计概率密度（也就是概率分布）
    for i in range(256):
        cdf += pdf[i]
        dst[i] = round(cdf * 255, 0)


def equalizeHistogram(img):
    """
    直方图均衡化
    :param img:
    :return:
    """
    dst = np.copy(img)

    # 计算图像的概率密度
    pdf = getImagePdf(img)

    cdf = 0  # 累计概率密度（也就是概率分布）
    trans = np.zeros(256)  # 用来绘制映射表
    for i in range(256):
        cdf += pdf[i]
        dst[img == i] = round(cdf * 255, 0)
        trans[i] = round(cdf * 255, 0)

    return dst, trans


def calculateHE(img):
    # 原图像直方图
    hist = cv.calcHist([img], [0], None, [256], [0, 256])

    # 均衡化后的图像
    # heImg = cv.equalizeHist(img)
    heImg, heTrans = equalizeHistogram(img)
    # 均衡化后的图像的直方图
    heHist = cv.calcHist([heImg], [0], None, [256], [0, 256])

    return hist, heImg, heHist, heTrans


if __name__ == '__main__':
    # 读取灰度图像
    # 读取灰度图像
    imgGray1 = cv.imread('Image/Fig0401.tif', 0)
    imgHist1, heImg1, heHist1, heTrans1 = calculateHE(imgGray1)

    imgGray2 = cv.imread('Image/Fig0402.tif', 0)
    imgHist2, heImg2, heHist2, heTrans2 = calculateHE(imgGray2)

    imgGray3 = cv.imread('Image/Fig0403.tif', 0)
    imgHist3, heImg3, heHist3, heTrans3 = calculateHE(imgGray3)

    imgGray4 = cv.imread('Image/Fig0404.tif', 0)
    imgHist4, heImg4, heHist4, heTrans4 = calculateHE(imgGray4)

    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.figure(figsize=(10, 13))
    titleList = ["暗图像", "亮图像", "低对比度图像", "高对比度", "直方图", "直方图", "直方图", "直方图"
        , "均衡化后", "均衡化后", "均衡化后", "均衡化后", "直方图", "直方图", "直方图", "直方图", "映射图", "映射图", "映射图", "映射图"]
    imageList = [imgGray1, imgGray2, imgGray3, imgGray4, imgHist1, imgHist2, imgHist3, imgHist4
        , heImg1, heImg2, heImg3, heImg4, heHist1, heHist2, heHist3, heHist4, heTrans1, heTrans2, heTrans3, heTrans4]

    for i in range(4):
        plt.subplot(5, 4, i + 1), plt.title(titleList[i]), plt.axis('off')
        plt.imshow(imageList[i], vmin=0, vmax=255, cmap='gray')

    for i in range(4, 8):
        plt.subplot(5, 4, i + 1), plt.title(titleList[i])
        plt.plot(imageList[i], color='r')

    for i in range(8, 12):
        plt.subplot(5, 4, i + 1), plt.title(titleList[i]), plt.axis('off')
        plt.imshow(imageList[i], vmin=0, vmax=255, cmap='gray')

    for i in range(12, 16):
        plt.subplot(5, 4, i + 1), plt.title(titleList[i])
        plt.plot(imageList[i], color='r')

    for i in range(16, 20):
        plt.subplot(5, 4, i + 1), plt.title(titleList[i])
        plt.plot(imageList[i], color='r')

    plt.tight_layout()
    plt.savefig("Image/tmp.png")
    plt.show()

2.1.2 示例效果

2.2 示例二（直接使用opencv接口）

2.2.1 示例代码

我这里直接用的opencv的接口，没有直接实现算法。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import cv2 as cv


def calculateHE(img):
    # 原图像直方图
    hist = cv.calcHist([img], [0], None, [256], [0, 256])

    # 均衡化后的图像
    heImg = cv.equalizeHist(img)

    # 均衡化后的图像的直方图
    heHist = cv.calcHist([heImg], [0], None, [256], [0, 256])

    return hist, heImg, heHist


if __name__ == '__main__':
    # 读取灰度图像
    imgGray1 = cv.imread('Image/Fig0401.tif', 0)
    imgHist1, heImg1, heHist1 = calculateHE(imgGray1)

    imgGray2 = cv.imread('Image/Fig0402.tif', 0)
    imgHist2, heImg2, heHist2 = calculateHE(imgGray2)

    imgGray3 = cv.imread('Image/Fig0403.tif', 0)
    imgHist3, heImg3, heHist3 = calculateHE(imgGray3)

    imgGray4 = cv.imread('Image/Fig0404.tif', 0)
    imgHist4, heImg4, heHist4 = calculateHE(imgGray4)

    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.figure(figsize=(10, 10))
    titleList = ["暗图像", "亮图像", "低对比度图像", "高对比度", "直方图", "直方图", "直方图", "直方图"
        , "均衡化后", "均衡化后", "均衡化后", "均衡化后", "直方图", "直方图", "直方图", "直方图"]
    imageList = [imgGray1, imgGray2, imgGray3, imgGray4, imgHist1, imgHist2, imgHist3, imgHist4
                 , heImg1, heImg2, heImg3, heImg4, heHist1, heHist2, heHist3, heHist4]

    for i in range(4):
        plt.subplot(4, 4, i + 1), plt.title(titleList[i]), plt.axis('off')
        plt.imshow(imageList[i], vmin=0, vmax=255, cmap='gray')

    for i in range(4, 8):
        plt.subplot(4, 4, i + 1), plt.title(titleList[i])
        plt.plot(imageList[i], color='r')

    for i in range(8, 12):
        plt.subplot(4, 4, i + 1), plt.title(titleList[i]), plt.axis('off')
        plt.imshow(imageList[i], vmin=0, vmax=255, cmap='gray')

    for i in range(12, 16):
        plt.subplot(4, 4, i + 1), plt.title(titleList[i])
        plt.plot(imageList[i], color='r')

    plt.tight_layout()
    plt.savefig("Image/tmp.png")
    plt.show()

2.2.2 示例效果说明

从上述图像中可以看出：

• 图像经过均衡化后，不论是亮度还是对比度，都有明显增强
• 经过均衡化之后的图像的直方图分布更加均衡化