10行Python代码实现令陶哲轩惊叹的数学公式！

最近陶神的一篇小论文引起了广泛关注，我们也来跟风吃个瓜。

为了代码实现，有必要先来解读一下数学公式。陶神的研究领域需要比较深的数学背景知识，一般人是很难看懂的。而这篇里的公式涉及的数学知识大家在本科时都已经学过了，所以只要稍作展开就能看懂哦。

论文里的证明比较简练，为了让更多的吃瓜群众看明白，本文按照陶神论文里的思路将证明作了详细展开。如果不想啃公式，那就直接跳到后面看代码吧。

理论部分

我们先看一下公式， 是一个  矩阵（简单点，可以只考虑元素是实数的情况，就是实对称矩阵）， 表示它的第  个特征值（实数）， 是它第  个特征向量， 就是  的第  个分量，以及由  删掉第  行和第  列得到的子矩阵 （ 阶主子式），那么有如下公式成立，

具体一点，举个例子看看。例如我们将  矩阵  分解为，

其中， 是实数， 是  维向量，以及  是  的  矩阵，则有，

当然这里假设分母不为零。

简单地说，就是由原矩阵的特征值以及它所有  阶主子式的特征值，可以计算出原矩阵的所有特征向量分量的模平方。

证明

下面我们根据论文 https://arxiv.org/pdf/1908.03795.pdf 来理一下陶神的证明思路。

引理 假设  矩阵  的一个特征值为 ，不失一般性，令 ，那么对于任意  行  列的矩阵 ，下式均成立，

其中  表示  的第  个特征向量， 表示由一个  行  列的矩阵  和一个有  个元素的列向量  组成的  行  列的新矩阵。

证明: 对  矩阵  作特征分解（对角化 ），得 ，其中  为对角矩阵

将分解代入等式右端，并令 ，得

其中  表示矩阵  的前  行和前  列构成的子矩阵， 和  亦同理。

由  得 ，将之代入等式左端得，

可见，左右两端相等，证毕 。

其实上面证明过程中很多中间步骤可以省略掉，但为了尽可能让更多人看明白，这里尽量保留了详细步骤。

定理 矩阵  的特征向量各元素的平方与  的特征值以及各个子矩阵  的特征值之间有如下关系，

不失一般性，我们设  和 ，即第  个特征向量的第  个元素。为了使用引理，让矩阵第  个特征值 ，因此让  减去 ，得 ，为了简化符号，变换后的新  仍然记作 ，此时 新  的特征值与原来  的特征值之间的关系刚好是 。因此现在有 ；当然  的其他特征值以及  的特征值也都作了相同偏差。关于  的特征值，我们可以来验证一下。将变换后的新  记为 , 即有

它的特征多项式为，

可见 。同样的，将变换后的新 &nbs