平面建系法——几何题的“作弊神器“

前言

坐标连接大脑，建系代替思考

这句话是很多建系党挂在耳边的话，这很难不让人怀疑建系法到底是什么，真的有他们说的那样无脑吗？

是什么

建系法本质上来说就是把几何问题转化成代数问题来计算，即通过建立合适的坐标系将点、线、面等几何元素转化成坐标和方程，再通过代数运算来解决问题。

使用特征

1. 选择题或填空题，大题中需谨慎使用，因为过程繁琐且可能削弱几何直观，通常不是阅卷老师期望的解法。
2. 有特殊角或直角的题目。
3. 有正方形或直角三角形的题目。
4. 要求线段的长度或者线段的等量关系。

怎么做

建系法一般来说就是三个步骤，接下来将分别展开讲解。

确定原点和坐标轴

找原点： 找原点时一般以题目的特殊点作为原点，比如直角顶点、对称中心、线段中点、正方形的顶点。这样就能大大方便我们的运算，总之怎么方便运算怎么来。

建立坐标轴： 找原点时一般以相互垂直的线段作为坐标轴，要确保大部分的点都可以通过这个坐标轴用坐标表示出来,反正也是怎么方便运算怎么来。

例子：

写出点的坐标

根据已知条件和坐标系写出关键点的坐标，把题目中的关键点转化为 $(x,y)$ 的形式。从而把几何问题转化为代数问题。 如遇到没有给出的可先设未知数代替坐标。

求解

明确求解对象，把已知条件代入相应公式求出结果。也可根据等量关系列方程求解。

常用公式与方法

关于点

两点间距离公式：
已知 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$.
$$AB=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$$
中点坐标公式：
已知 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$,则线段 $AB$ 的中点 $M$ 的坐标为：$M(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$.

关于线

直线的斜率：

已知直线 $l:y=kx+b$ 经过 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$.则直线 $l$ 的斜率为
$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
判断两直线是否相互平行：

若 $k_1=k_2$,则 $l_1\parallel l_2$.

判断两直线是否相互垂直：

若 $k_1\cdot k_2=-1$,则 $l_1\perp l_2$.

求两直线交点坐标：
已知直线 $l_1:y=k_{1}x+b_1$ 和直线 $l_2:y=k_{2}x+b_2$.

1. 联立方程：将两条直线的解析式等号右边相等，得到 $k_{1}x+b_1=k_{2}x+b_2$。
2. 求解 x：整理方程解出 $x$，即 $x=\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2}$（前提是 $k_1\ne k_2$）。
3. 求解 y：将求得的 $x$ 代入任意一个直线方程，计算出 $y$。

例题

如图，在边长为 $2\sqrt{2}$ 的正方形 $ABCD$ 中，点 $E$,$F$ 分别是边 $AB$,$BC$ 的中点，连接 $EC$,$FD$,点 $G$,$H$ 分别是 $EC$,$FD$ 的中点，连接$GH$，求 $GH$ 的长度。

解：
如图，以点 $B$ 为原点，$BC$ 所在直线为 $x$ 轴，$BA$ 所在直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系。
因为正方形 $ABCD$ 的边长为 $2\sqrt{2}$，且 $A$ 在左上角，$B$ 在左下角，$C$ 在右下角，$D$ 在右上角，
所以各点坐标为：
$$B(0,0),A(0,2\sqrt{2}),C(2\sqrt{2},0),D(2\sqrt{2},2\sqrt{2}).$$
因为点 $E$ 是 $AB$ 的中点，
所以
$$E\left(\frac{0+0}{2},\frac{2\sqrt{2}+0}{2}\right)=(0,\sqrt{2}).$$
因为点 $F$ 是 $BC$ 的中点，
所以
$$F\left(\frac{0+2\sqrt{2}}{2},\frac{0+0}{2}\right)=(\sqrt{2},0).$$
连接 $EC$，点 $G$ 是 $EC$ 的中点，
因为 $E(0,\sqrt{2})$，$C(2\sqrt{2},0)$，
所以
$$G\left(\frac{0+2\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}+0}{2}\right)=\left(\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$
连接 $FD$，点 $H$ 是 $FD$ 的中点，
因为 $F(\sqrt{2},0)$，$D(2\sqrt{2},2\sqrt{2})$，
所以
$$H\left(\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2},\frac{0+2\sqrt{2}}{2}\right)=\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}\right).$$
由两点间距离公式，得
$$\begin{array}{rl}GH& =\sqrt{{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}\\ & =\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}\\ & =\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{2}{4}}\\ & =\sqrt{1}=1.\end{array}$$
所以 $GH$ 的长度为 $1$。

总结

建系法的优点是：

1. 思路直接
2. 通用性强
3. 减少了辅助线的使用

建系法的缺点是：

1. 依赖坐标系选择
2. 计算量大容易出错
3. 用多了可能削弱几何直观

总的来说能不用建系法就不用建系法，最好把建系法当作最后一招来使用。只有当你完全不知道该如何下手时，才派建系法出山。