平衡二叉树的时间复杂度

原创 已于 2024-02-24 22:53:24 修改 · 739 阅读 · 13 ·
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#数据结构 #算法

于 2024-02-24 22:51:57 首次发布
本文介绍了平衡二叉树的基本概念，指出其结点高度的计算方法，并通过斐波那契数列探讨了最小结点数的规律。

目录

一、知识补充

二、定义

三、推导过程

一、知识补充

一般认为，对于只有一个结点的树，那么这个结点的高度为0，以此类推，有L层的树根结点的高度h=L-1。

二、定义

平衡二叉树的定义为，任意一个结点，其左子树和右子树的平衡因子绝对值不大于1。最小的结点数并非2^{k}，而是一组满足类似斐波那契数列的函数。

三、推导过程

当h=0时，最小结点数为1。最小结点数n_{h}=n_{h-1}+n_{h-2}+1（找规律得到的）。满足斐波那契数列，并可写成n_h=F(h+2)-1，

对于斐波那契数列，有

F_i\approx \frac{1}{\sqrt{5}}\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{i}，

故

n_h\approx \frac{1}{\sqrt{5}}\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{h+2}-1，

最后

h=O(logn)。

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