牛客网牛客练习赛67 E.牛妹游历城市（二进制建图优化+最短路）

最新推荐文章于 2021-09-05 16:30:42 发布

原创最新推荐文章于 2021-09-05 16:30:42 发布 · 263 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#图论

ACM训练专栏收录该内容

18 篇文章

订阅专栏

牛妹计划从家出发，通过计算最小行走距离到达目的地。利用Dijkstra算法，结合二进制优化建图，解决特定条件下的路径寻找问题。

题目传送门

牛妹游历城市

最近，牛妹天天宅在家里，真是憋死人了。他决定出去旅游。

牛妹现在正在1号点（自己家里），他决定前往n号点（牛妹想去的地方），中途可以多次经过1~n号点。

现在，已知每个点都有个权值 $a_i$ ，如果 $a_i \& a_j ≠0$ ，则i号点和j号点之间连有一条双向边，权值为 $lowbit(a_i \& a_j)$ 。

他想要最小化自己的行走距离，但是他计算不出来qaq。相信全牛客最聪明的你一定会吧！

Tips:

&是位运算中and的意思，lowbit(n)的值是最大的 $2^x$ ，满足 $2^x | n$ 。

例如 $lowbit(5)=lowbit((101)_2)=1,\ lowbit(8)=lowbit((1000)_2)=8$ 。

输入描述:

本题有多组数据。
第一行，输入一个数T，表示数据组数。
接下来2*T行，先输入一个数n，再输入n个数，第i个数表示 $a_i$ 。

输出描述:

对于每组数据，输出最小的行走距离。
如果无法从1号点到达n号点，则输出“Impossible”（不含引号）。

示例一

输入

2
6
2 3 5 8 13 21
12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

输出

3
5

示例二

输入

5
3
1 2 3
4
177 188 199 211
2
1 2
4
1 1 1 1
5
1 2 4 8 16

输出

1
1
Impossible
1
Impossible

备注:

数据保证 $1≤T≤5,1≤n≤10^5$ , $1\le T\le 5, 1\le n\le 10^5, 1\le a_i < 2^{32}$

思路

建图，然后跑一遍Dijkstra，重点部分在建图的优化：

$n^2$ 建边会T掉，考虑二进制优化建边：

因为 $a_i<2^{32}$ ，所以不妨设置每一个数位为一个虚点，连接从 $a_i$ 到虚点的双向边，从 $a_i$ 到虚点的边权为数位对应的基数，从虚点到 $a_i$ 的边权为0。

举个例子说明，假如当前有两个点对应的权值为 $a_1=1,a_2=5$ ， $a_1$ 对应的二进制表示为1， $a_2$ 对应的二进制表示为101，建边如下图所示，然后以1为起点跑一个 Dijkstra 求dis[n]就可以了。

在这里插入图片描述

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 100100
#define INF (ll)0x3f3f3f3f3f3f3f3f
typedef long long ll;
ll arr[MAXN];
struct node{
    ll c;
    int to,nx;
}eages[MAXN*40];
struct point{
    int pos;
    ll dis;
};
bool operator < (point a,point b){
    return a.dis>b.dis;
}
priority_queue<point>q;
int head[MAXN];
int tot;
ll dis[MAXN];
bool vis[MAXN];
ll lowbit(ll x){
    return x&(-x);
}
void init(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    tot=0;
    while (!q.empty()){
        q.pop();
    }
}
void add(int u,int v,ll cost){
    eages[++tot].nx=head[u];
    eages[tot].to=v;
    eages[tot].c=cost;
    head[u]=tot;
}
//普通Dijkstra 
ll dijstra(int s,int n){
    memset(dis,INF,sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    dis[s]=0;
    int mark;
    ll mi;
    for (int k=0;k<n;k++){
        mi=INF;
        for (int i=0;i<=n;i++){
            if (!vis[i] && dis[i]<mi){
                mi=dis[i];
                mark=i;
            }
        }
        vis[mark]=true;
        for (int i=head[mark];i!=-1;i=eages[i].nx){
            int v=eages[i].to;
            if (dis[mark]+eages[i].c<dis[v]){
                dis[v]=dis[mark]+eages[i].c;
            }
        }
    }
    return dis[n];
}
//堆优化的Dijkstra 
ll dijstra2(int s,int n){
    memset(dis,INF,sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    dis[s]=0;
    q.push(point{s,0LL});
    while (!q.empty()){
        point t=q.top();
        q.pop();
        int mark=t.pos;
        for (int i=head[mark];i!=-1;i=eages[i].nx){
            int v=eages[i].to;
            if (dis[mark]+eages[i].c<dis[v]){
                dis[v]=dis[mark]+eages[i].c;
                q.push(point{v,dis[v]});
            }
        }

    }
    return dis[n];
}

int main (){
    int cases,n;
    scanf("%d",&cases);
    while(cases--){
        scanf("%d",&n);
        init();
        for (int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&arr[i]);
            ll j=0;
            while (j<=32){
                ll t = (1LL<<j);
                ll c = arr[i] & t;
                if (c){
                    add(i+32,j,t);
                    add(j,i+32,0);
                }
                j++;
            }
        }
        ll ans=dijstra2(1+32,n+32);
        ans==INF?puts("Impossible"):printf("%lld\n",ans);
    }

    return 0;
}