多重背包模板

题目：

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有num[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

多重背包动态规划过程：

　　　　多重背包问题的思路跟完全背包的思路非常类似，只是k的取值是有限制的，因为每件物品的数量是有限制的，状态转移方程为：

　　　　dp[i][v] = max{dp[i - 1][v - k * c[i]] + w[i] | 0 <=k <= n[i]}

　　　　其中c[i]是物品的数量，和完全背包的不同支出在于完全背包可以取无数件，而多重背包给定了最多能取的数量。这样也是三个循环，分别是背包容量，物品个数和物品种类。这样如果数量比较多的情况，很明显这个做法也会超时，所以我们也要想更优化的方法去完善。

　　转化为01背包问题
　　　　转化为01背包求解：把第i种物品换成n[i]件01背包中的物品。考虑二进制的思想，考虑把第i种物品换成若干件物品，使得原问题中第i种物品可取的每种策略——取0..n[i]件——均能等价于取若干件代换以后的物品。另外，取超过n[i]件的策略必不能出现。

　　　　方法是：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为1,2,4,…,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为13，就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。

　　　　分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示，证明我也没看过这里就不贴上了，主要还是需要去理解代码，代码在下面给出。

分析：状态转移为：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=1e6+1100;
int v[N], w[N], num[N];
int dp[N];
int n,m;

//01背包
void ZeroOnePack(int v, int w)
{
    for (int i = m; i >= v; i--)
    {
        dp[i] = max(dp[i], dp[i - v] + w);
    }
}
//完全背包
void CompletePack(int v, int w)
{
    for (int i = v; i <= m; i++)
    {
        dp[i] = max(dp[i], dp[i - v] + w);
    }
}
//多重背包
void MultiplePack(int v, int w, int num)
{
    if (v * num >= m)//如果总容量比这个物品的容量要小，那么这个物品可以直到取完，相当于完全背包
    {
        CompletePack(v, w);
        return ;
    }
    else//否则就将多重背包转化为01背包
    {
        int k = 1;
        while (k < num)
        {
            ZeroOnePack(k*v, k*w);
            num -= k;
            k *= 2;//这里采用二进制思想
        }
        ZeroOnePack(num*v, num*w);
    }
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--)
    {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d%d%d", &v[i], &w[i], &num[i]);
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            MultiplePack(v[i], w[i], num[i]);
        printf("%d\n", dp[m]);
    }
    return 0;
}