剑指 Offer（第2版）面试题 42：连续子数组的最大和

剑指 Offer（第2版）面试题 42：连续子数组的最大和

题目来源：55. 连续子数组的最大和

输入一个非空整型数组，数组里的数可能为正，也可能为负。

数组中一个或连续的多个整数组成一个子数组。

求所有子数组的和的最大值。

要求时间复杂度为 O(n)。

解法1：动态规划

设 dp[i] 表示区间 [0, i] 中索引为 i 的数字参与的连续子数组和的最大值。

初始化：dp[0] = 0

下面思考状态转移，有两种情况：

1. 选择当前下标的数字 nums[i - 1]，添加进连续子数组，有 dp[i] = dp[i - 1] + nums[i - 1]。
2. 不与前面的子数组相加，单独自己成为一个新的子数组，有 dp[i] = nums[i - 1]。

我们求最大和，那么取两种情况中最大值，于是状态转移方程为：dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i - 1], nums[i - 1])。

注意：dp[n] 只是数字末尾元素参与的连续子数组和的最大值，不是全局最大值。

连续子数组的最大和 max_sum = max(dp[i])，1 <= i <= n。

我们在状态转移的过程中，还要每次更新 max_sum = max(max_sum, dp[i])。

代码：

class Solution
{
public:
	int maxSubArray(vector<int> &nums)
	{
		if (nums.empty())
			return 0;
		int n = nums.size();
		vector<int> dp(n + 1, 0);
		dp[0] = 0;
		int max_sum = INT_MIN;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i - 1], nums[i - 1]);
			max_sum = max(max_sum, dp[i]);
		}
		return max_sum;
	}
};

复杂度分析：

时间复杂度：O(n)，其中 n 为数组 nums 的长度。

空间复杂度：O(n)，其中 n 为数组 nums 的长度。

解法2：动态规划 - 状态压缩

我们发现 dp[i] 之和 dp[i - 1] 和 nums[i - 1] 有关。可以使用状态压缩。

代码：

class Solution
{
public:
	int maxSubArray(vector<int> &nums)
	{
		if (nums.empty())
			return 0;
        int pre = 0;
		int max_sum = INT_MIN;
		for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
		{
			int cur = max(pre + nums[i], nums[i]);
			max_sum = max(max_sum, cur);
			pre = cur;
		}
		return max_sum;
	}
};

复杂度分析：

时间复杂度：O(n)，其中 n 为数组 nums 的长度。

空间复杂度：O(1)。