计算机图形学 | 图形思维的起点——朴素的软光栅

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原创 2023-03-29 15:41:26 1.3k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

C++实现Bresenham直线光栅化算法：原理详解与代码实战在计算机图形学中，光栅化是将连续几何图元（如直线、三角形）转换为离散像素网格的过程，是渲染管线的基础环节。其核心原理在于通过高效的算法，在离散的屏幕坐标系中，用最接近理想连续直线的像素序列进行逼近，以平衡视觉质量与计算性能。Bresenham算法作为经典的光栅化决策算法，通过巧妙的整数运算和误差递推，完全避免了浮点计算，实现了极高的绘制效率，在嵌入式图形库、软件渲染器及像素游戏引擎等对性能敏感的场景中具有重要技术价值。本文以C++为例，深入解析该算法的决策参数与递推原理，并提供处理所有斜率情况的通用实现、可阅读详情

华中科技大学《计算机图形学》课程

MOOC地址：计算机图形学（HUST）

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4.1 初次尝试——点和直线

扫描转换的概念

光栅扫描式图形显示器：有一个点阵单元发生器，通过控制每个点阵单元的亮度来显示一副完整的图形。

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和CRT相似，液晶显示器、LED显示器也都有一个点阵单元发生器，这个点阵单元其实就是像素点阵。

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图形的光栅化（图形的扫描转换）分成两步：

根据图形的定义在点阵单元上确定最佳逼近于图形的像素集，逼近的过程本质可以认为是连续量向离散量的转换；
给像素指定合适的颜色值。

这个过程叫做图形的光栅化（图形的扫描转换）：

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一般而言，光栅化阶段由GPU完成。

我们也可以由程序员完成从图元到像素点的转换，这种不借助硬件提供的API，直接由应用程序计算的过程，叫做软光栅。

约定：为像素点阵建立一个坐标系，先考虑二维图形的生成。

点

输入：点的坐标

输出：像素点的位置

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直线

输入：直线两个端点的坐标P0(x0,y0)和P1(x1,y1)

输出：最佳逼近这条直线的像素点集

高质量直线的要求：

直线要直，不能有锯齿效果
直线的端点要准确，即无定向性和断裂情况
直线的亮度、色泽要均匀
画线的速度要快，还能处理不同线宽、颜色、线型

数值微分算法

数值微分法（Digital Differential Analyzer，简称DDA）。

一种直接从直线的微分方程生成直线的方法。

通过给定直线的两端点坐标P0(x0,y0)和P1(x1,y1)，我们可以得到直线的微分方程：

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Ɛ足够小，计算精度可以无限高。

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但设备的精度是有限的，令ε=1/max(|△x|,|△y|)，使得ε△x戒ε△y中会有一个变成单位步长、

这就使得，算法在最大位移方向上，每次总是走一步。

情况一：

斜率绝对值小于1：ε=1/|△x|

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情况二：

斜率绝对值大于1：ε=1/|△y|

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后者（也就是情况二）的效率更高。

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DDA直线生成算法：

void DDAline(int x0, int y0, int x1, int y1)
{
    int dx, dy, eps1, k;
    float x, y, xIncre, yIncre;
    dx = x1 - x0;
    dy = y1 - y0;
    x = x0;
    y = y0;
    If(abs(dx) > abs(dy)) eps1 = abs(dx);
    else eps1 = abs(dy);
    xIncre = (float)dx / (float)eps1;
    yIncre = (float)dy / (float)eps1;
    for (k = 0; k <= eps1; k++)
    {
        putpixel((int)(x + 0.5), (int)(y + 0.5)); // 在对应坐标处输出像素点
        x += xIncre;
        y += yIncre;
    }
}

DDA直线生成算法特点：

在一个迭代算法中，如果每一步的x、y值是用前一步的值加上一个增量来获得的，那么，这种算法就称为增量算法。因此，DDA算法是一个增量算法。

优点：DDA算法直观、易实现

缺点：有浮点数和浮点运算，效率不高

中点的Bresenham算法

输入：直线两个端点的坐标P0(x0,y0)和P1(x1,y1)

输出：最佳逼近这条直线的像素点集

通过给定直线的两端点坐标P0(x0,y0)和P1(x1,y1)，可得到直线斜截式表示：y=kx+b。

我们还可以写出它的隐式方程：F(x,y)=y-kx-b=0，其中k=Δy/Δx=y1-y0/x1-x0。

基本原理：

假定0≤k≤1，x是最大位移方向

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通过中点不直线的位置关系引入误差项d，判断误差项的符号来选择候选点。

M在Q的下方，取Pu；M在Q的上方，取Pd。

构造判别式d=F(xM,yM)=F(xi+1,yi+0.5)=yi+0.5-k(xi+1)-b。

当d<0时，取右上方Pu。
当d=0时，任取一个，约定取Pd
当d>0，取正右方的Pd

误差项递推：d﹤0

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误差项递推：d≥0

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d的初值

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d的计算变成了增量计算，但计算过程仍然存在浮点数。

解决办法：将d放大2△x倍，消除浮点数。

在0≤k≤1情况下的整数的中点Bresenham算法：

输入直线的两端点P0(x0,y0)和P1(x1,y1)。
计算初始值△x、△y、d=△x-2△y、x=x0、y=y0。
绘制点(x,y)。
判断d的符号
若d<0，则(x,y)更新为(x+1,y+1)，d更新为d+2△x-2△y；
否则(x,y)更新为(x+1,y), d更新为d-2△y。
当直线没有画完时，重复步骤3，否则结束。

实例：

输入：直线两个端点的坐标P0(0,0)和P1(8,5)

输出：最佳逼近这条直线的像素点集

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改进的Bresenham算法

更直观的想法：

假定0≤k≤1，x是最大位移方向，每次xi+1=xi+1，

d>0.5 yi+1=yi+1
d=0.5 yi+1=yi
d<0.5 yi+1=yi

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d的变换规律：d的初值为0，d每次增加k，一旦向上走了一步则让d减去1。

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改进一：

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改进二：

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在0≤k≤1情况下改进的Bresenham算法：

输入直线的两端点P0(x0,y0)和P1(x1,y1)。
计算初始值△x、△y、e=-△x、x=x0、y=y0。
绘制点(x,y)。
e更新为e+2△y
判断e的符号
若e>0，则(x,y)更新为(x+1,y+1)，同时将e更新为e-2△x；
否则(x,y)更新为(x+1,y)。
当直线没有画完时，重复步骤3和4。否则结束。

实例：

输入：直线两个端点的坐标P0(0,0)和P1(8,5)

输出：最佳逼近这条直线的像素点集

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4.2 如果是圆？

问题描述：圆的扫描转换

简化问题：只考虑圆心在原点的圆

那么对于任意圆呢？

答：先将圆的中心扫描转换到原点，再扫描转换回原本位置。

八分法画圆

圆的对称性分析：位于原点的圆，可以被4条直线得到8个区域。这就是八分法画圆的由来。

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简化问题：只需要画出一个八分之一段圆弧即可。

八分法画圆的问题描述：绘出圆心在原点，半径为整数R的圆x²+y²=R²。

基本思想：绘制出下图中八分之一段圆弧，利用对称的方法绘制出另外七段。

方法一：利用简单方程

基本思想：利用函数方程，直接离散计算。

x为最大位移方向，x每次增加1，每次计算y后四舍五入。

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方法二：利用极坐标方程

基本思想：利用极坐标方程，直接离散计算。

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步长Δθ选择对圆弧效果的影响：步长越小，圆越圆滑。

中点画圆法

假定0≤k≤1，x是最大位移方向判别式d=F(x,y)=x²+y²-R²。

问题的简化：只考虑1/8段圆弧。

与八分法画圆一样，最大位移是x方向，x每次增加1，y减少1或者不变。

构造判别式：d=F(M)=(xi+1)²+(yi-0.5)²-R²。

如果d>0，M在圆外，取Pd
如果d<0，M在圆内，取Pu
如果d=0，M在圆上，约定取Pu

第一种情况：d≤0，取Pu

第二种情况：d＞0，取Pd

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d的初值

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d的整数化尝试

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此时只需要判断d的符号。

中点Bresenham画圆法

输入圆的半径R
计算初始值
d=1.25-R
x=0
y=R
绘制点(x,y)及其在八分圆中的另外七个对称点
判断d的符号
若d≤0，先将d更新为d+2x+3，再将(x,y)更新为(x+1,y)；
否则，先将d更新为d+2(x-y)+5，再将(x,y)更新为(x+1,y-1)
当x<y时，重复步骤3和4，否则结束

4.3 如果是圆？

椭圆的隐式方程：F(x,y)=b²x²+a²y²-a²b²。

椭圆的对称性：关于x轴对称，关于y轴对称。

所以只需要画出第一象限的椭圆弧，其他按对称给出。

第一象限椭圆弧分析：

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实际算法：用中点近似判断

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于是，

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上一个中点2a²(yi-0.5)>2b²(xi+1)，下一个中点2a²(yi-0.5)<2b²(xi+1)，根据中点从上半部分转入下半部分。

上半部分：

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第一种情况：d1≤0，取Pu

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第二种情况：d1>0，取Pd

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误差项初值

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下半部分：

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第一种情况：d2>0，取Pl

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第二种情况：d2≤0，取Pr

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判断上半部分是否转如到下半部分？

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计算下半部分中点的初值

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椭圆中点Bresenham算法：

输入椭圆的长半轴a和短半轴b
计算初始值
d=b2+a2(-b+0.25)，x=0，y=b
绘制点(x,y)及其另外三个对称点
判断d的符号
若d≤0，先将d更新为d+b²(2x+3)，再将(x,y)更新为(x+1,y)
否则，先将d更新为d+b²(2x+3)+a²(-2y+2)，再将(x,y)更新为(x+1,y-1)
当2a2(y-0.5)>2b2(x+1)时，重复步骤3和4，否则转到步骤6
用上半部分计算的最后点(x,y)来计算下半部分中d的初值
d₂₀=F(M)=b²(x+0.5)²+a²(y-1)²-a²b²
绘制点(x,y)及其在四分象限上的另外三个对称点。
判断d的符号
若d≤0，先将d更新为b²(2xi+2)+a²(-2yi+3)，再将(x,y)更新为(x+1,y-1)
否则，先将d更新为d+a²(-2yi+3)，再将(x,y)更新为(x,y-1)
当y>0时，重复步骤7和8，否则结束。