鸽巢原理

Pigeonhole principle

EXT : Pigeonhole Principle

Let $$q_1,q_2,\cdots q_n$$ be positive integer, put $$-n+1+\sum _{i=1}^n{q}_i$$ items into $$n$$ containers, either the first contains at least $$q_1$$ items, or the second contains at least $$q_2$$ items, …, or the $$n$$th contains at least $$q_n$$ items.

中国剩余定理(CRT)

$$m_1,m_2,\cdots ,m_r\in \mathbb{N}$$ are pairwise coprime , so for all $$a_1,a_2,\cdots ,a_r$$ we can find a $$x$$ s.t.

x=ai( mod mi)∀i∈{1,2,⋯ ,r} x = a_i ( \bmod m_i ) \quad \forall i \in \{1,2 ,\cdots, r\}x=ai​(modmi​)∀i∈{1,2,⋯,r}

let $$M=\prod _{i=1}^r{m}_i$$ , $$t_i$$ is the inverse element for $$\frac{M}{m_i}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$$.

$$x=\sum _{i=1}^r{a}_i\frac{M}{m_i}{t}_i$$ is a solution

Ramsey 定理

Ramsey定理实际上是鸽巢原理的加强形式的扩展。

问题的引入

$$K_6\to K_3,K_3$$ ： $$K_6$$中仅有红蓝两种颜色的边，一定存在一个红色的$$K_3$$或者蓝色的$$K_3$$。

Ramsey 定理

若存在最小整数$$p$$使得$$K_p\to K_m,K_n$$，记做$$p=r(m,n)$$为Ramsey数，这样的数一定存在。

Ramsey数的结论

1. $$r(2,n)=r(n,2)=n$$
2. $$r(m,n)\le r(m-1,n)+r(m,n-1)$$
3. $$r(3,4)=9$$

r(3,4)= 9的证明

Ramsey 定理的推广形式

满足条件$$K_p\to K_{n_1},K_{n_2},\cdots ,K_{n_l}$$ 的最小整数称为$$r(n_1,n_2,\cdots ,n_l)$$

r(3,3,3) = 17

Ramsey 更一般的形式

给定一正整数$$t$$，及$$q_1,q_2,\cdots q_k\ge t$$,存在一个整数$$p$$，将其中每一个$$t$$元素子集指定为$$k$$中颜色$$c_1,c_2,\cdots ,c_k$$中的一种，满足:

1. 存在$$q_1$$个元素，所有$$t$$子集都被染成指定颜色$$c_1$$
2. … …
3. 存在$$q_k$$个元素，所有$$t$$子集都被染成指定颜色$$c_k$$

则$$r_t(q_1,\cdots ,q_k)$$为最小的$$p$$

特例

The Strong form of Pigeonhole Principle :$$r_1(q_1,q_2,\cdots ,q_k)=q_1+q_2+\cdots +q_k+n-1$$