组合数学——第一讲_组合数有关的卷机-优快云博客

本文深入讲解排列与组合的基本原理，包括加法、乘法、减法及除法原理，探讨基本计数问题，并详细解析排列数与组合数的计算方法。通过二项式定理、比例关系等揭示组合数的特性，同时介绍多重集合排列与组合的应用。

排列与组合

基本原理

加法原理

$,Sn}\{ S_1 , S_2, \cdots , S_n\}$ is a partition of $S$ then :

$\sum_{i=1}^{n} {|S_i |}$

乘法原理

$S$ is the set of some ordered pair $< a, b >$ , if $\{ <a,b> | a \in P , b \in Q \}$ then:

$\times |Q|$

减法原理

$S‾\overline{S}$ is the commplement set of $S$ , when $U$ is the universal set :

$|\overline{S}|$

除法原理

If there is a k-to-1 correspondence between of objects of type A with objects of type B, and there are $∣ A ∣$ objects of type A, then there are $∣A∣k\frac{|A|}{k}$ objects of type B.

基本计数问题

在计数之前需要弄清楚:

是否有序
是否有标号
是否有限制条件
有限集还是无限集
是否可重
尝试一个小例子验证上述问题

排列数

$P (n, r)$ 表示从 $n$ 个元素中有序地选择 $r$ 个元素的方案数。 $\frac{n!}{(n-r)!}$

其中循环排列的个数是 $P(n,r)r\frac{P(n,r)}{r}$ 。

组合数

$(nr)\binom{n}{r}$ 表示从 $n$ 个元素中选择- $r$ 个元素作为一个集合的方案数(无序)。通常 $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

特别的规定 $(00)=1\binom{0}{0} = 1$

二项式系数的特征

二项式定理

组合数又称做二项式系数，这是因为知名的二项式定理

$(x+y)^n = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} x^i y^{n-i}$

一个特例是： $∑i=0n(ni)=2n\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} = 2^n$ 表示组合数的和。

另一个特例是：选择奇数个元素和偶数个元素的方案数一样多 $∑i=0n(−1)i(ni)=0\sum_{i=0}^{n} (-1)^{i} \binom{n}{i} = 0$

比例关系

$\binom{n}{r-1} (n-r+1) = \binom{n}{r} r$

这变相的解释了组合数 $(ni)\binom{n}{i}$ 关于 $i$ 的最值。
$(n−1r−1)n=(nr)r\binom{n-1}{r-1} n = \binom{n}{r} r$

Pascal

$\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r} + \binom{n-1}{r-1}$

对称性

$\binom n r = \binom n {n-r}$

组合数的和

$\binom {n+1} {r+1} = \binom n r + \binom {n-1} r + \cdots + \binom r r$

组合数的卷积(Vandermonde卷积)

$\binom {n+m} k = \sum_{i=0}^{k} \binom n i \binom m {k-i}$

$(2nn)=∑i=0n(ni)2\binom {2n} n = \sum_{i=0}^{n} {\binom n i}^2$

二项式反演

利用组合数在两类计数序列中可以建立下述联系

$f_n = \sum_{i=0}^{n} (-1)^{i} \binom{n}{i} g_i \Leftrightarrow g_n = \sum_{i=0}^{n} (-1)^{i} \binom n i f_i$

$f_n = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} g_i \Leftrightarrow g_n = \sum_{i=0}^{n} (-1)^{n-i} \binom n i f_i$

一个经典的策略是解决错排问题，假设已知错排数为 $D_n$ 则有

$\sum_{i=0}^{n} \binom n i D_i$ 即枚举每种排列中错位的位置，并对这些位置错排。

故

$\begin{aligned} D_n & = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} \binom n i i! \\ & = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} \frac{n!}{(n-i)!} \\ & = n! \sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^i}{i!} \end{aligned}$

多重集合排列

问题定义，有 $k$ 中元素，有序选出其中 $r$ 个元素的排列数:

无限情形 $k^r$
有限情形，第 $i$ 中元素有 $n_i$ 个， $\sum {n_i}$ ，则 $r!n1!n2!⋯nk!\frac{r!}{n_1 ! n_2 ! \cdots n_k !}$ 。这同样是把一个集合划分成 $k$ 个有标号的集合的方案数。
有限情形的另一个情况需要生成函数。考虑每种元素对应的如下多项式，若有无限个，对应 $f_i(x) = e^x$ ，如果为 $k$ 个对应 $fi(x)=∑i=0kxii!f_i(x) = \sum_{i=0}^{k} \frac{x^i}{i!}$ ，故求 $∏fi(x)\prod f_i(x)$ 可以得到其指数生成函数。

多重集合的组合

问题定义，有 $k$ 中元素，选出其中 $r$ 个元素的组合数:

无限情形 $(r+k−1r)=(r+k−1k−1)\binom {r+k-1} r = \binom {r+k-1}{k-1}$
有限情形 ${a1⋅k1,a2⋅k2,⋯an⋅kn}\{a_1 \cdot k_1, a_2 \cdot k_2 , \cdots a_n \cdot k_n\}$ 这样的有穷集合。
- 对于 $ai⋅kia_i \cdot k_i$ 考虑问题的反面，即不满足此条件的方案数为 $A_i$
- 问题变成 $\bigcap \overline{A_i} | = \sum_{ s' \in 2^A } (-1)^{|s'|} s'$
- 按照情况枚举所有可能即可。
对于有下界的情形，做换元即可。