滑雪

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本文探讨了在一个二维数组表示的区域中寻找最长滑坡路径的问题。通过记忆化搜索和动态规划两种方法，详细解析了如何高效求解最长路径。文章提供了完整的C++代码实现，包括深度优先搜索和基于高度排序的动态规划方案。

题目描述：

Michael喜欢滑雪百这并不奇怪，因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道载一个区域中最长底滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子
1 2 3 4 5

16 17 18 19 6

15 24 25 20 7

14 23 22 21 8

13 12 11 10 9

一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-…-3-2-1更长。事实上，这是最长的一条。

输入：

输入的第一行表示区域的行数R和列数C(1 <= R,C <= 100)。下面是R行，每行有C个整数，代表高度h，0<=h<=10000。

输出：

输出最长区域的长度。

样例输入：

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

样例输出：

单纯的搜索数据量肯定是有点大，可以考虑记忆化搜索或者说是动态规划
记忆化搜索：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[105][105];
#define inf 9999999
#include<queue>
int n,m;
int d[1005][1005];
int flag[1005][1005];
int biao[1005][1005];
int visit[1005][1005];
int maxx=0; 
int dx[]={0,0,1,-1};
int dy[]={1,-1,0,0};
int dfs(int x,int y)
{
	if(visit[x][y])
	     return visit[x][y];
	int ret=1;
	for(int i=0;i<4;i++)
	{
		int xx=x+dx[i];
		int yy=y+dy[i];
		if(xx>=0&&xx<n&&yy>=0&&yy<m)
		{
			if(a[xx][yy]<a[x][y])
			{
				ret=max(dfs(xx,yy)+1,ret);
			}
		}
	}
	return visit[x][y]=ret;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	memset(d,0,sizeof(d));
	memset(visit,0,sizeof(visit));
	memset(biao,0,sizeof(biao));
	int i,j;
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		for(j=0;j<m;j++)
		{
			scanf("%d",&a[i][j]);
		}
	}
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		for(j=0;j<m;j++)
		{
			if(biao[i][j]==0)
			{
				maxx=max(dfs(i,j),maxx);
			}
		}
	}
	printf("%d\n",maxx);
	return 0;
}

动态规划：
将所有的较小的高度的长度列出来，然后退出较大的高度

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<queue>
using namespace std;
int n,m;
int a[150][150];
int dp[150][150];
int dx[]={1,-1,0,0};
int dy[]={0,0,-1,1};
struct node{
	int x,y,high;
}feng[15000];
bool cmp(node aa,node bb)
{
	return aa.high<bb.high;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int i,j,k;
	int qq=0;
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		for(j=0;j<m;j++)
		{
			scanf("%d",&a[i][j]);
			feng[qq].x=i;
			feng[qq].y=j;
			feng[qq].high=a[i][j];
			dp[i][j]=1;
			qq++;
		}
	}
	sort(feng,feng+qq,cmp);
	int ans=1;
	for(i=0;i<qq;i++)
	{
		int x=feng[i].x;
		int y=feng[i].y;
		for(j=0;j<4;j++)
		{
			int xx=x+dx[j];
			int yy=y+dy[j];
			if(xx>=0&&x<n&&yy>=0&&yy<m&&a[x][y]>a[xx][yy])
			{
				dp[x][y]=max(dp[x][y],dp[xx][yy]+1);
				ans=max(ans,dp[x][y]);
			}
		}
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}