有向图欧拉回路条数-BEST定理

教学香肠系列……

给定一张所有点入度=出度的有向图，求欧拉回路条数。
$n\leq 500$

为了避免出现重复，对于这个无向图，我们先确定一条$1$号节点出发的起始边。

找一个以$1$号点为根的内向树（即每个点有唯一的一条路径到达$1$号点），对于一个点的所有不在树上、非起始边的出边，指定一个顺序。

容易证明，这样做的一个方案唯一对应一条欧拉回路。

证明：
=>：构造法，从1号节点出发，先走起始边，每到一个点，优先走非树边，再走树边。对于非树边，按照指定的顺序走，即，如果第一条边没走过，走第一条，否则走第二条，…，若所有非树边都走过，则走树边。由于所有点入度=出度，所以不会有无边可走的情况，直到回到$1$号节点且无边可走为止。
显然每条边至多走一次，如何证明每条边至少走了一次？
性质1：如果一个点有未走过的出边，则这个点出发的树边一定未走过，因为树边是最后走的
性质2：如果一个节点出发的树边未走过，则它父亲节点出发的树边一定也未走过，因为每个节点入度=出度
然后就好办了，反证法，假设存在一条边没走过，那么这条边的树边一定也没走过，进而这条边父亲的树边也没走过……以此类推，$1$号节点有至少一条入边没有走过，那么由于入度=出度，$1$号节点也有至少一条出边未走过，这与终止条件矛盾，证毕。

<=：反向就很简单了，对于欧拉回路我们从$1$号节点出发先走起始边，然后对于每个点的所有出边，最后一条是树边，其余按照遍历顺序确定顺序即可得到一个上述方案。（