卷积与相关性解析
本文深入探讨了信号处理中卷积与自相关、互相关的关系，分别对连续信号和离散序列进行了数学证明，揭示了这些概念在确定性信号分析中的应用。
一、卷积和自相关
对于确定性信号，无统计平均含义，其卷积和自相关存在如下关系：
1. 连续信号
Rf(τ)=f(τ)∗f(−τ)R_{f}(\tau)=f(\tau)*f(-\tau)Rf(τ)=f(τ)∗f(−τ)
2. 离散序列
Rh(m)=h(m)∗h(−m)R_{h}(m)=h(m)*h(-m)Rh(m)=h(m)∗h(−m)
现证明如下：
1. 连续信号
- 卷积
- 自相关
由此可得，Rf(τ)=f(τ)∗f(−τ)R_{f}(\tau)=f(\tau)*f(-\tau)Rf(τ)=f(τ)∗f(−τ)。
2. 离散序列
- 卷积
- 自相关
由此可得，Rh(m)=h(m)∗h(−m)R_{h}(m)=h(m)*h(-m)Rh(m)=h(m)∗h(−m)。
二、卷积和互相关
相应地，确定性信号的卷积和互相关的关系为：
1. 连续信号
Rxy(τ)=x(−τ)∗y(τ)R_{xy}(\tau)=x(-\tau)*y(\tau)Rxy(τ)=x(−τ)∗y(τ) Ryx(τ)=y(−τ)∗x(τ)R_{yx}(\tau)=y(-\tau)*x(\tau)Ryx(τ)=y(−τ)∗x(τ)
2. 离散序列
Rxy(m)=x(−m)∗y(m)R_{xy}(m)=x(-m)*y(m)Rxy(m)=x(−m)∗y(m) Ryx(m)=y(−m)∗x(m)R_{yx}(m)=y(-m)*x(m)Ryx(m)=y(−m)∗x(m)
现证明如下：
1. 连续信号
-
卷积
-
互相关
由此可得，Rxy(τ)=x(−τ)∗y(τ)R_{xy}(\tau)=x(-\tau)*y(\tau)Rxy(τ)=x(−τ)∗y(τ)，同理可推，Ryx(τ)=y(−τ)∗x(τ)R_{yx}(\tau)=y(-\tau)*x(\tau)Ryx(τ)=y(−τ)∗x(τ)。
2. 离散序列
-
卷积
-
互相关
由此可得，Rxy(m)=x(−m)∗y(m)R_{xy}(m)=x(-m)*y(m)Rxy(m)=x(−m)∗y(m)，同理可推，Ryx(m)=y(−m)∗x(m)R_{yx}(m)=y(-m)*x(m)Ryx(m)=y(−m)∗x(m)。
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