确定性信号的卷积和自相关、互相关的关系

本文深入探讨了信号处理中卷积与自相关、互相关的关系,分别对连续信号和离散序列进行了数学证明,揭示了这些概念在确定性信号分析中的应用。

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一、卷积和自相关

对于确定性信号,无统计平均含义,其卷积和自相关存在如下关系:

1. 连续信号
Rf(τ)=f(τ)∗f(−τ)R_{f}(\tau)=f(\tau)*f(-\tau)Rf(τ)=f(τ)f(τ)
2. 离散序列
Rh(m)=h(m)∗h(−m)R_{h}(m)=h(m)*h(-m)Rh(m)=h(m)h(m)
现证明如下:

1. 连续信号

  • 卷积
    在这里插入图片描述
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  • 自相关
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    由此可得,Rf(τ)=f(τ)∗f(−τ)R_{f}(\tau)=f(\tau)*f(-\tau)Rf(τ)=f(τ)f(τ)

2. 离散序列

  • 卷积
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  • 自相关
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    由此可得,Rh(m)=h(m)∗h(−m)R_{h}(m)=h(m)*h(-m)Rh(m)=h(m)h(m)

二、卷积和互相关

相应地,确定性信号卷积和互相关的关系为:

1. 连续信号
Rxy(τ)=x(−τ)∗y(τ)R_{xy}(\tau)=x(-\tau)*y(\tau)Rxy(τ)=x(τ)y(τ) Ryx(τ)=y(−τ)∗x(τ)R_{yx}(\tau)=y(-\tau)*x(\tau)Ryx(τ)=y(τ)x(τ)
2. 离散序列
Rxy(m)=x(−m)∗y(m)R_{xy}(m)=x(-m)*y(m)Rxy(m)=x(m)y(m) Ryx(m)=y(−m)∗x(m)R_{yx}(m)=y(-m)*x(m)Ryx(m)=y(m)x(m)
现证明如下:

1. 连续信号

  • 卷积
    在这里插入图片描述
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    在这里插入图片描述

  • 互相关
    在这里插入图片描述
    由此可得,Rxy(τ)=x(−τ)∗y(τ)R_{xy}(\tau)=x(-\tau)*y(\tau)Rxy(τ)=x(τ)y(τ)

    同理可推,Ryx(τ)=y(−τ)∗x(τ)R_{yx}(\tau)=y(-\tau)*x(\tau)Ryx(τ)=y(τ)x(τ)

2. 离散序列

  • 卷积
    在这里插入图片描述
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    在这里插入图片描述

  • 互相关
    在这里插入图片描述
    由此可得,Rxy(m)=x(−m)∗y(m)R_{xy}(m)=x(-m)*y(m)Rxy(m)=x(m)y(m)

    同理可推,Ryx(m)=y(−m)∗x(m)R_{yx}(m)=y(-m)*x(m)Ryx(m)=y(m)x(m)

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