一、卷积和自相关
对于确定性信号,无统计平均含义,其卷积和自相关存在如下关系:
1. 连续信号
Rf(τ)=f(τ)∗f(−τ)R_{f}(\tau)=f(\tau)*f(-\tau)Rf(τ)=f(τ)∗f(−τ)
2. 离散序列
Rh(m)=h(m)∗h(−m)R_{h}(m)=h(m)*h(-m)Rh(m)=h(m)∗h(−m)
现证明如下:
1. 连续信号
- 卷积
- 自相关
由此可得,Rf(τ)=f(τ)∗f(−τ)R_{f}(\tau)=f(\tau)*f(-\tau)Rf(τ)=f(τ)∗f(−τ)。
2. 离散序列
- 卷积
- 自相关
由此可得,Rh(m)=h(m)∗h(−m)R_{h}(m)=h(m)*h(-m)Rh(m)=h(m)∗h(−m)。
二、卷积和互相关
相应地,确定性信号的卷积和互相关的关系为:
1. 连续信号
Rxy(τ)=x(−τ)∗y(τ)R_{xy}(\tau)=x(-\tau)*y(\tau)Rxy(τ)=x(−τ)∗y(τ) Ryx(τ)=y(−τ)∗x(τ)R_{yx}(\tau)=y(-\tau)*x(\tau)Ryx(τ)=y(−τ)∗x(τ)
2. 离散序列
Rxy(m)=x(−m)∗y(m)R_{xy}(m)=x(-m)*y(m)Rxy(m)=x(−m)∗y(m) Ryx(m)=y(−m)∗x(m)R_{yx}(m)=y(-m)*x(m)Ryx(m)=y(−m)∗x(m)
现证明如下:
1. 连续信号
-
卷积
-
互相关
由此可得,Rxy(τ)=x(−τ)∗y(τ)R_{xy}(\tau)=x(-\tau)*y(\tau)Rxy(τ)=x(−τ)∗y(τ),同理可推,Ryx(τ)=y(−τ)∗x(τ)R_{yx}(\tau)=y(-\tau)*x(\tau)Ryx(τ)=y(−τ)∗x(τ)。
2. 离散序列
-
卷积
-
互相关
由此可得,Rxy(m)=x(−m)∗y(m)R_{xy}(m)=x(-m)*y(m)Rxy(m)=x(−m)∗y(m),同理可推,Ryx(m)=y(−m)∗x(m)R_{yx}(m)=y(-m)*x(m)Ryx(m)=y(−m)∗x(m)。