最大无法表示成px+qy（x>=0,y>=0)的数

最新推荐文章于 2022-03-26 21:13:52 发布

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本文探讨了两个互质数p和q的最大无法表示为px+qy形式的数为pq-q-p，并通过数学推导验证了该结论。进一步讨论了对于大于pq-q-p的所有数n，都能找到合适的x和y使得n=px+qy成立。

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有俩个数p,q,且gcd(q,p)（最大公约数）=1,则最大无法表示成px+qy（x>=0,y>=0)的数是pq-q-p（对于n>pq-q-p,都可以表示成px+qy；而pq-q-p,就无法表示成px+qy）。

x>=0,y>=0很重要。
1.
假设可以表示为pq-q-p
那么
px+qy=pq-q-p
p(x+1)+q(y+1)=pq
两边同时MOD p
得到：  0+q(y+1)%p=0
因为 gcd(p,q)=1
所以 y+1=kp
同理 x+1=mq
且k,m为正整数

两边同时除以pq
(x+1)/q+(y+1)/p=1
k+m=1
y+1=kp
x+1=(1-k)q
但是x,y>=0故pq-q-p,就无法表示成px+qy
2.
(p-1)(q-1)=pq-p-q+1
对于n>pq-q-p即n>=(q-1)(p-1)
gcd(p,q)=1
对于z<min{p,q}存在a,b使得ap+bq=z
不妨设a>0>b,显然a>0
那么如果a>q,取a1=a-q,b1=b+p
那么有a1*p+b1*q=z.
如果a1>q，可以继续以得到
Ap+Bq=z,且0<|A|<q,0<|B|<p
pq-p-q=(p-1)q-q=(q-1)p-p
对于n>pq-q-p
n=pq-q-p+k*min{p,q}+r
r<z<min{p,q}
那么取A,B
Ap+Bq=r,且0<|A|<q,0<|B|<p
不妨设A>0
n=pq-q-p+k*min{p,q}+r
=(q-1)p-p+k*min{p,q}+Ap+Bq
=(A-1)p+(B+q-1)p+k*min{p,q}
其中(A-1),(B+q-1)>=0
那么无论min{p,q}是p还是q，都有
对于n>pq-q-p,都可以表示成px+qy