线段树（区间树）

线段树(Interval Tree)，也叫区间树。它在各个节点保存一个区间（即“子数组”），适用于和区间统计有关的问题。比如某些数据可以按区间进行划分，按区间动态进行修改，而且还需要按区间多次进行查询，那么使用线段树可以达到较快查询速度。实际可应用于例如RMQ，线段求长，矩形交，矩形并等，它基本能保证每个操作的复杂度为O(log n)。

一、基本结构

对于一个[0 , N-1]的序列，它对应的线段树的根节点表示区间[0 , N-1]，即所有N个数所组成的一个区间，然后，把区间分成两半，分别由左右子树表示。它的左右子树可以有多种表示方法：

方案一：左结点代表的区间为[a , (a + b) / 2]，右结点代表的区间为[ (a + b) / 2 + 1 , b ]。叶子节点为区间[a , a]。

其中(a + b) / 2将向下取整，这是最常用的表示方法，当只考虑区间内的整数点时，在这种表示方案情况下的问题求解比较清晰。

叶子节点数目为N，即整个线段区间的长度，而线段树的总结点数可用数学归纳法证明为2N-1。

方案二：  对于根节点为[0 , N)的区间。

左结点代表的区间为[a , (a + b) / 2)，右结点代表的区间为[ (a + b) / 2 , b ]。叶子节点为区间[a , a+1)。

这种方案能覆盖区间内的所有实数点。

不管采用哪种方案，线段树都是平衡二叉树。线段树的总结点数为O(2N)，高度为O(log n)。

二、基本操作

建树，插入，删除，查询，更新。
因为它是一棵二叉树，所以它的操作一般除了建树是O（N），其余的都是O(log n)的。

线段树的一般解题过程是先建树，然后插入数据，然后更新，查询。建树和插入删除操作都可由定义直接递归得到。我们来看看线段树的查询和更新操作，特别是在某个区间内进行时的实现方法。

2.1 查询

2.1.1 单点查询

单点查询指查询一个叶节点的信息，只要按树的结构搜索，每次搜索只需要考虑一个分支。

2.1.2 区间查询

区间查询指用户输入一个区间，获取该区间的有关信息，如区间中最大值，最小值，第N大的值等。

比如在前面一个图中所示的树中查询最小值，如果询问区间是线段树的一个完整节点，比如是[0,2]或者是[3,3]，则可以直接找到对应的节点。但比如[0,3]，是由两个区间组合而成。需要把[0,2]和[3,3]两个区间（它们在整数意义上是相连的两个区间）的最小值“合并”起来，也就是求这两个最小值的最小值，才能求出[0,3]范围的最小值。同理，对于其他询问的区间，也都可以找到若干个相连的区间，合并后可以得到询问的区间。

// node 为线段树的结点类型，其中Left 和Right 分别表示区间左右端点
// Lch 和Rch 分别表示指向左右孩子的指针
void Query(node *p, int a, int b) // 当前考察结点为p，查询区间为(a,b]
{
  if (a <= p->Left && p->Right <= b)
  // 如果当前结点的区间包含在查询区间内
  {
     ...... // 更新结果
     return;
  }
  Push_Down(p); // 将A的标记p移到子结点中，需要更新子结点的值和标记
  int mid = (p->Left + p->Right) / 2; // 计算左右子结点的分隔点
  if (a < mid) Query(p->Lch, a, b); // 和左孩子有交集，考察左子结点
  if (b > mid) Query(p->Rch, a, b); // 和右孩子有交集，考察右子结点
}

这样的过程一定选出了尽量少的区间，它们相连后正好涵盖了整个[l,r]，没有重复也没有遗漏。同时，这样的区间集合在每层的节点最多会被选取2个，一共选取的节点数也是O(log n)的，因此查询的时间复杂度也是O(log n)。

线段树并不适合所有区间查询情况，它的使用条件是“相邻的区间的信息可以被合并成两个区间的并区间的信息”。即问题是可以被分解解决的。

2.2 更新

2.2.1 单个点的更新

对于单个节点，从根开始按子树的划分确定是访问哪个子树，递归下去，修改叶节点信息，然后回溯修改父节点的信息。

2.2.2 区间更新

当用户更新一个区间的值时，如果连同其子孙全部更新，则改动的节点数为O(n)个。因而，如果要想把区间更新操作也控制在O(log n)的时间内，只更新O(log n)个节点的信息就成为必要。
借鉴前一节区间查询用到的思路：区间更新时如果区间，完全包含了区间A，则只更新A并回溯更新A的所有祖先节点，但不去更新它的儿子节点。为了记录A的儿子节点的信息事实上已经被改变了，这就需要我们在A节点里增设一个域：标记。

标记记录这个结点是否已被进行了某种更新操作(这种更新操作会影响其所有子结点，但不会影响A本身)。还是像上面的一样，对于任意区间A，如果A完全包含于需要更新的区间，则给A结点标上标记p并更新A的值，然后回溯到祖先节点，但并不给A的祖先节点标标记p，也不给子节点标标记p。在更新和查询的时候，如果我们到了一个结点B，并且当我们决定考虑其子结点，那么就要看看结点B有没有标记p，如果有，就要先按照标记p更新其子结点的值，并且给子结点都标上相同的标记p，同时消掉B的标记p。

// node 为线段树的结点类型，其中Left 和Right 分别表示区间左右端点
 // Lch 和Rch 分别表示指向左右孩子的指针
 
void Update(node *A, int a, int b) // 当前考察结点为A，更新区间为[a,b]
{
  if (a <= A->Left && A->Right <= b)
  // 如果当前结点的区间包含在更新区间内
  {
     ...... // 修改当前结点的信息
	 ...//标上标记p
	 return;//从此处开始回溯到祖先节点
  }
  Push_Down(p); // 将A的标记p移到子结点中，需要更新子结点的值和标记

  int mid = (A->Left + A->Right) / 2; // 计算左右子结点的分隔点
  if (a < mid) Update(A->Lch, a, b); // 和左孩子有交集，考察左子结点
  if (b > mid) Update(A->Rch, a, b); // 和右孩子有交集，考察右子结点
  Update(A); // 递归后回溯修改A的信息（因为其子结点的信息可能有更改）
}